Управление летательным аппаратом

1.Постановка  задачи.

    Положение самолёта в воздухе изменяется с  помощью элеронов, руля высоты, и  руля управления. Угол атаки определяется углом между продольной осью симметрии  самолёта и проекцией вектора  скорости на плоскость симметрии. Система  управления углом атаки многоцелевого  истребителя на высоте 10000 метров при  скорости 0.9М может быть представлена передаточной функцией: 

W(s)=

,где 

Синтезировать систему  управления углом атаки многоцелевого  истребителя. 
 
 

К0 = -15

b1 = 0.015

b2 = 0.385

a1 = 1

a2 = 27.29

c1 = 0.01

c2 = 0.0025  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Построение математической модели объекта

2.1 Математическая модель объекта "вход - выход". 

      По  условию поставленной задачи, исследуемый  объект уже описан в математической модели «вход-выход». Модель задана передаточной функцией W(s), которая описывает зависимость выходных переменных на входные воздействия. 

W(s)=

 

Запишем дифференциальное уравнение, соответствующее заданной передаточной функции: 

y⁽⁴⁾ + 1.010*y⁽³⁾ + 27.302*y⁽²⁾ +0.275*y⁽¹⁾ + 0.068*y = -15*u⁽²⁾ – 6* u⁽¹⁾- - 0.086*u ,   (1) 

где y – выходная переменная, u – входное воздействие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.1 Математическая модель  объекта в «пространстве состояний». 

    Перейдем  от математической модели «вход-выход» к математической модели объекта в «пространстве состояний». Уравнения состояния объекта имеют вид: 

                                   

x' = Ax + Bu

y = Cx + Du (2)                                     

х(t₀) = x₀                                                                            

            
 

где x - вектор состояний,  u - вектор воздействий, а y - вектор выходных переменных, A, B, C, D - матрицы коэффициентов. 

    Для того чтобы совершить переход  к математической модели объекта  в «пространстве состояний», необходимо выбрать неизвестные состояния, чтобы из заданного линейного дифференциального уравнения (1) перейти к системе дифференциальных уравнений. 

    Перепишем (1) используя оператор дифференцирования p, и введём коэффициенты A_0…g и B_0…g, где g – максимальный порядок дифференцирования, в нашем случаи g = 4. 

A₀*p⁴*y+ A₁*p³*y+ A₂*p²*y+ A₃*p*y+ A₄*y = B₀*p⁴*u+ B₁*p³*u+ B₂*p²*u+ B₃*p*u+ B₄*u, где  
 
 
 
 

Матрицы для математической модели в «пространстве состоянии» определяются следующим образом: 

А =           B =  

C =          D =    
 

Подставляя коэффициенты общий вид матриц A,B,C,D, в численном выражении получаем: 

A =      B =    
 

C =            D = (0) 

Вычислены матрицы  состояний. Переход от математической модели «вход-выход» к математической модели в «пространстве состоянии» завершён. 
 

2.3 Переход от модели  в «пространстве состояний» к модели «вход-выход». 

    Далее необходимо совершить обратный переход, то есть от математической модели в  «пространстве состояний» к математической модели «вход-выход». Система уравнений (2) представима в операторной форме: 

px(t) - Ax(t) = Bu(t)

(pE - A)x(t) = Bu(t)

x(t) = (pE-A)^-1 Bu(t) 

Вектор  выходных переменных y(t) = W(p)u(t), где W(p) - передаточная матрица и 

 W(p) = C (pE-A)^-1 B + D 

Выражение (pE-A)^-1 носит название резольвенты матрицы А. 

(pE-A)^-1 = B(p)/χ(λ), где 

B(p)= b₁*p^n-1+ b₂*p^n-2+…+ b_n, где b_i – постоянные матрицы с размером n*n

Χ_n(λ)- характеристический полином матрицы А.

Χ_n(λ)= λⁿ +a₁*λ^n-1+…+а_n = det(λ*E-A) 

Матрица А имеет размеры 4*4, т.е. n=4, следовательно 

B(p) = b₁*p³ + b₂*p² + b₃*p + b₄ – полиномиальная матрица          (3)

Χ_n(λ)= λ⁴ +a₁*λ³+ a₂*λ² + a₃*λ¹ + а₄  

В рабочей среде  Matlab опишем алгоритм Леверье-Фаддеева и найдем выражения для искомых полиномов. 

b₁ = Е₄=                        a₁= - trace (b₁*A) = 1.01 
 

b₂ = b₁*A+a₁*E =     a₂ = - trace(b₂*A) = 27.302 
 

b₃ = b₂*A+a₂*E = a₃=- trace(b₃*A)= 0.275 
 
 

b₄=b₃*A+a₃*E= a₄ = - trace(b₄*A) = 0.068 
 

Подставим вычисленные коэффициенты в полиномиальную матрицу  (3), получим: 

B(p) = * p³ +  * p^{2 +}

  ⁺ *p +  

Подставим вычисленные коэффициенты в характеристический полином матрицы А, получим: 

Χ_n(λ)= λ⁴ + 1.01*λ³ + 27.302*λ² + 0.275₃*λ¹ + 0.068 

Найденые полиномиальные матрицы подставляем в выражение  для передаточной матрицы: 

W(p) = C * * B + D = =  

Доказана эквивалентность  передаточной функции полученной в результате переход от математической модели в пространстве состояний к математической модели вход-выход. 
 

3.Анализ  переходных процессов  объектов управления 

3.1 Переходные процессы линейных непрерывных объектов

    Рассмотрим  модель объекта в пространстве состояний:

                   x' = Ax + Bu

                    y = Cx + Du 

                    x(t₀) = x₀             

Для решения этой системы можно воспользоваться  интегральной формулой Коши:

    ,                                          

где интегральная матричная экспонента системы.

Для получения  удобного базиса целесообразно сделать  замену:  

                                                                        

Необходимо получить жорданову форму матрицы А. Для этого будем пользоваться неособенной матрицей S, т.е для матрицы S существует обратная матрица. 

После замены базиса исходная система примет следующий  вид: 
 

         z'(t) = J z(t)  + S^-1 B u(t)

         y = C S + D u                                                 

         z(0) = S^-1 x(0)  ,                  
 

где - жорданова форма матрицы A. 
 

Интегральная форма  Коши для нового выбранного базиса определяется соотношением: 

 

Рассмотрим свойства мартиц A и J:

Матрицы А и J подобны, поэтому они обладают одинаковыми собственными значениями.

Матрица А имеет  следующие собственные значения: 

λ₁ =  -0.5 + 5.2i

λ₂  = -0.5 - 5.2i

λ₃ = -0.005 + 0.015i

λ₄ = -0.005 – 0.015i 

Отрицательность вещественных частей собственных чисел  матрицы А говорит о том, что  в дальнейшем система перейдёт в  установившейся режим. 

Жорданова матрица  имеет чисто диагональный вид, так как среди собственных чисел матрицы А нет кратных. 

J = diag(λ_1, λ_2, λ_3, λ₄)=

= diag(-0.5 + 5.2i, -0.5 - 5.2i, -0.005 + 0.015i, -0.005 –                   - 0.015i) 

Матричная экспонента: 

e^Jt = diag(e^λ1*t, e^λ2*t, e^λ3*t, e^λ4*t)=

   = diag(e^-0.5+5.2i, e^-0.5-5.2i, e^{-0.005+0.015i}, e^{-0.005-0.015i}) 

e^Jt =  
 
 
 
 

Преобразующая матрица S вычисляется с помощью MatLab: [S,J] = eig(A) 
 
 

S =  
 

J =  

После вычисления S, матричной экспоненты e^Jt, жордановой формы матрицы А – J, можем записать решение начальной системы уравнений: 

 
 
 

Программа для  построения графика в среде MatLab: 

%Анализ  переходных процессов

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.086]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

[S,J]=eig(A);

syms t;

lyambda=eig(A);

S^(-1);

S^(-1)*A*S;

det(J);

syms tt;

eJt=expm(J*tt);

intJt=int(eJt,tt,0,t);

y=C*S*intJt*S^(-1)*B;

vpa(y,3);

ezplot(y,[0,30]);

xlabel('Time (sec)'), ylabel('Amplitude');

title('Responce');

sys=ss(A,B,C,D);

figure

step(sys,30);

 
 

_{Первый  график построен по аналитическому решению.}

_{Второй  график построен с  помощью функции  Step в среде MatLab.} 
 
 
 
 
 
 

3.2. Построение модели линейных дискретных объектов и систем, их

переходные  процессы.