Управление летательным аппаратом

При анализе систем управления и проектировании моделей  обьектов и систем часто необходимо проанализировать ситуацию, когда при  начальных нулевых условиях входное  воздействие осуществляется в некоторых  пределах: 

                          
 

Интегральная формула  Коши в таком случае будет иметь  вид:

 
                                                     

Введем функцию   

Тогда x(t) и y(t) запишется в виде 

 

и будет представлять собой математическую модель типа свертки. 

Переведем математическую модель обьекта в пространстве состояний  в математическую модель типа свертки: 

     (4.3) 

Итак, - это импульсная переходная функция обьектов или систем.

Она в свою очередь  выражается через обобщенную дельта-функцию  Дирака . 

 
 

Тогда (4.3) имеет  вид: 

 

Рассмотрим реакцию  исследуемого нами обьекта на входное  управляющее воздействие в виде дельта-функции  . 

A =      B =    
 

C =            D = (0) 
 

S =  

=  

e^Jt =  
 
 
 
 
 
 
 

Поскольку , а

 поскольку D является матричным нулем: 

W1 = Cw(t) = * 

** 

*  

** 

* 
 

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.086]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

[S,J]=eig(A)

sys1 = ss(A,B,C,D)

figure;

impulse(sys1,10)

 
 

Итак, импульсная переходная функция обьекта, есть реакция  обьекта на входное воздействие  ввиде дельта-функции  при  нулевых начальных условиях. 

4.2 Импульсные переходные  функции дискретных  систем 

Пусть дискретная модель обьекта задана математической моделью в пространстве состояний. 

 

 

По условию  , следовательно:       

Импульсная переходная функциея будет иметь следующую  форму: 

                          
 

Аналогично вычислениям  в предыдущем пункте: 
 

 

A = [-1.01 1 0 0; -27.3 0 1 0; -0.2725 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.087]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

s1=ss(A,B,C,D)

[S,J]=eig(A); 

%переход  к дискретной модели

sysdiscr =c2d(s1,10)

impulse(sysdiscr,s1,10) 

 

Таким образом, мы проанализировали реакцию непрерывного и дискретного объекта управления на управляющее воздействие в  виде дельта-функции  при  нулевых начальных условиях. 
 
 
 

5. Частотные характеристики  объекта 

W(s) =   

W(jw) =   

Разложение на мнимую и вещественную части проведено  в среде Mathematica:

 

   

 

   

W(jw) =  U(w) + jV(w)

U(w) =

V(w) =  
 
 
 
 
 

5.1 АЧХ – амплитудно-частотная характеристика 

A(w)==

A(w)= 
 

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.086]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

sys = ss(A, B, C, D);

W = tf(sys)

[N D] = tfdata(W(1), 'v');

syms w;

p = i*w;

Wn = (N(1)*p^4 + N(2)*p^3 + N(3)*p^2 + N(4)*p + N(5))/(D(1)*p^4 + D(2)*p^3 + D(3)*p^2 + D(4)*p + D(5));

U = real(Wn);

V = imag(Wn);

Aw = sqrt(U^2 + V^2)

w = 0.01:0.01:10;

figure;

plot(w, subs(Aw), 'r');

figure;

w = 0.01:0.001:1;

plot(w,subs(Aw),'r') 

 

5.2 ФЧХ – фазо-частотная характеристика 
 

 

U(w) =  

V(w) =  

U(w) > 0 при w =  
 

U(w) < 0 при w =  

U(w)=0 при W =      V(w)=0 при W =  

=arg(W(jw))= = 
 
 

 
 
 
 
 
 

5.3 Амплитуднофазочастотная характеристика (годограф Найквиста) 

Пусть задана непрерывная  система в виде модели "Вход-Выход". То есть, задана передаточная функция  системы: 

W(s) =   

Амплитуднофазочастотная характеристика, есть ни что иное, как  график на комплексной плоскости  зависимости W(jw).

W(s) =   

W(jw) =   

При помощи встроенной функции nyquist из Control System Toolbox среды Matlab, получаем следующий график: 

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.086]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

s1=ss(A,B,C,D);

H = tf(s1)

nyquist(H); 

 
 
 
 

 
 
 

5.4 Годограф Михайлова. 

Зададимся системой также в виде модели "Вход-Выход".

Годограф Михайлова - график частотной характеристика объекта, которая в будущем поможет  нам судить о его асимптотической  устойчивости. Итак, это график знаменателя  передаточной функции системы на комплексной плоскости. 
 
 

В среде Matlab нет встроенной функции, которая бы выводила годограф Михайлова для заданной передаточной функции, поэтому необходимо написать процедуру, производящюю заполнение вектора . Приведем текст этого m-файла: 

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.2725 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.087]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

sys = ss(A, B, C, D);

W = tf(sys)

sys_d=c2d(sys,10)

W_d = tf(sys_d)

 

[q p] = tfdata(W(1),'v');

pU = [p(1) 0 -p(3) 0 p(5)]

pV = [-p(2) 0 p(4) 0]

%корни полиномов

corU = roots(pU)

corV = roots(pV)

%выбираем  максимальный из корней

mcor = max([corV; corU])

om = [0:0.001:0.2];%omega

%подставляем  в полином

y = polyval(p, om*i);

subplot(1,2,1)

plot(real(y), imag(y))

grid on

om = [0:0.0001:0.2];

y = polyval(p, om*i);

subplot(1,2,2)

plot(real(y), imag(y))

grid on 

 

5.5 Логарифмические частотные характеристики. (ЛАЧХ, ЛФЧХ) 

ЛАЧХ

ЛФЧХ

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ, используя стандартную  пакет Control system (в качестве шкалы аргумента используется шкала ) :

bode(sys); 

 

6. Частотные характеристики  дискретной системы

 

Рассмотрим математическую модель «вход-выход» дискретной системы:

   .

При нулевых начальных  условиях к обеим частям данного  равенства применимо дискретное преобразование Лапласа. Учтём при  этом, что  . Перепишем уравнение:

, следовательно, 

. Где  , а        .

Теперь выразим  выходную характеристику: , где называется матричной передаточной функцией дискретной системы.

Применим преобразование Фурье, заменим  на , где , теперь - это амплитудно-фазовая частотная характеристика.

- амплитуда АФЧХ

Аргумент частотной  характеристики дискретного объекта  изменяется от 0 до Пи.

Построим её с  помощью Matlab: 

,

где . 

Расчеты проведены  в среде MatLab:  

sys = ss(A, B, C, D);

W = tf(sys)

sys_d=c2d(sys,T)

W_d = tf(sys_d)

[N D] = tfdata(W_d(1), 'v');

syms w;

p = i*w;

Wn = (N(1)*p^4 + N(2)*p^3 + N(3)*p^2 + N(4)*p + N(5))/(D(1)*p^4 + D(2)*p^3 + D(3)*p^2 + D(4)*p + D(5));

U = real(Wn);

V = imag(Wn);

6.1 АЧХ – амплитудно-частотная характеристика

 

Aw = sqrt(U^2 + V^2)

w = 0.01:0.01:10;

plot(w, subs(Aw), 'r');

6.2 ФЧХ – фазо-частотная характеристика

 

d = 0:0.1:20;

for k=1:length(d)

    w = d(k);

    re = subs(U);

    im = subs(V);

    if re==0

        if im~=0 phi(k)=sign(im)*pi/2;

        else phi(k)=0;

        end

    else

        if re>0 phi(k)=atan(im/re);

        else

            if im~=0

                phi(k)=atan(im/re)+pi*sign(im);

            end

        end

    end

 

end

plot(d, phi); 

 
 
 

6.3 АФЧХ – амплитудо-фазо-частотная характеристика (Годограф Найквиста)

Построим годограф Найквиста, используя Control system: