Управление летательным аппаратом

Nyquist(sys_d);

 
 

6.4. Логарифмические частотные характеристики. (ЛАЧХ, ЛФЧХ) 

ЛАЧХ

 

ЛФЧХ

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ, используя стандартную  пакет Control system (в качестве шкалы аргумента используется шкала ):

bode(sys_d);

7. Анализ устойчивости непрерывной системы 

Анализ устойчивости играет принципиальную роль в  задаче управления объектом или системой. Реальные физические объекты обычно работают в условиях динамически изменяющихся входных воздействий, а следовательно необходимо знать,

как изучаемый  объект или система будет на них реагировать и не потеряют стабильность.

Рассмотрим следующие  основные критерии устойчивости объектов. 
 

7.1 Корневые критерии  устойчивости. 

Линейная непрерывная  система удовлетворяет корневым критериям устойчивости в том  случае, если для нее действуют следующие условия: 

Система устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда реализуется следующее соотношение для всех собственных значений матрицы А :

Необходимым и  достаточным условием устойчивости непрерывной системы по Ляпунову является более жесткое условие:

Таким образом  наша система

  
 
 
 
 

с собственными числами 

     

-0.5000 + 5.2002i

-0.5000 - 5.2002i

-0.0050 + 0.0150i

-0.0050 - 0.0150i 

является асимптотически устойчивой.  
 

7.1.1 Критерий Ляпунова. 

Согласно этому  критерию непрерывной системе в  пространстве состояний ставится в  соответствие уравнение Ляпунова. Если решение уравнения Ляпунова будет  симметричным, положительно определенным, а также единственным,  тогда  наша система будет являться асимптотически устойчивой. Итак составим уравнение Ляпунова:

А - матрица состоянии системы,

Q - симметричная, положительно определенная матрица, т.е.

Иначе говоря, положительно определенной является следующая квадратичная форма:

,    где 

Решение уравнения  Ляпунова будем искать при помощи функции lyap пакета Control System Toolbox. В качестве аргументов ей передаются матрица состояния объекта А и некая симметричная положительно определенная матрица Q, которой может к примеру является и единичная матрица. Уравнение Ляпунова имеет единственное решение, если собственные значения матриц А и Q удовлетворяют соотношению , для всех пар . 

A  =[-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.275 0 0 1; -0.0068 0 0 0]

Q=eye(4)

lyambda=eig(A)

P=lyap(A',Q)

R=chol(P)

L=R' 

A = 

   -1.0100    1.0000         0         0

  -27.3020         0    1.0000         0

   -0.2750         0         0    1.0000

   -0.0068         0         0         0 
 

Q = 

     1     0     0     0

     0     1     0     0

     0     0     1     0

     0     0     0     1 
 

lyambda = 

  -0.5000 + 5.2002i

  -0.5000 - 5.2002i

  -0.0050 + 0.0150i

  -0.0050 - 0.0150i 
 

P = 

  1.0e+005 * 

    0.0001   -0.0000   -0.0000    0.0000

   -0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0005

   -0.0000   -0.0000    0.0005   -0.0000

    0.0000   -0.0005   -0.0000    2.0010 
 

R = 

    3.7628   -0.1329   -0.1474    0.1329

         0    0.7327   -0.7091  -68.0381

         0         0    7.0247   -6.9365

         0         0         0  442.0618 
 

L = 

    3.7628         0         0         0

   -0.1329    0.7327         0         0

   -0.1474   -0.7091    7.0247         0

    0.1329  -68.0381   -6.9365  442.0618 

Таким образом  видим, что система является асимптотически устойчивой по критерию Ляпунова, поскольку существует единственное решение уравнения Ляпунова и выполняется разложение Холлеского для решения P, то есть решение симметрично и положительно определённо. 

7.2 Алгебраические критерии Стодолы и Гурвица 

7.2.1 Критерий Стодоллы. 

Если полином  является стандартным Гурвицевым, т.е. все его корни располагаются в левой полуплоскости, то все его коэффициенты положительны или одного знака. Данный критерий определяет необходимое условие устойчивости и ничего не говорит об устойчивости системы.

Характеристический  полином: 

    Χ(λ)= λ⁴ + 1.01*λ³ + 27.302*λ² + 0.275*λ¹ + 0.068 

Необходимое условие  устойчивости выполняется- коэффициенты , следовательно, система может быть устойчива. 

7.2.2 Критерий Гурвица

Рассмотрим характеристический полином:

     λ⁴ + 1.01*λ³ + 27.302*λ² + 0.275*λ¹ + 0.068

Будем называть матрицей Гурвица следующую конструкцию:

. 

В нашем случае матрица Гурвица будет выглядеть: 

M= 

Δ1 = a1 = 1.01

Δ2 = det = 27.3 

Δ3 = det = 7.4381   

Δ4 = det = 0.5058  

Критерий Гурвица: Система устойчива тогда и только тогда, когда определитель и все главные диагональные миноры матрицы Гурвица больше нуля.

Условия критерия Гурвица выполняются, следовательно, система является асимптотически устойчивой. 
 

7.3 Частотные критерии Михайлова и Найквиста 

Рассмотрим методы анализа устойчивости по годографам характеристических полиномов и  амплитудно-фазовых характеристик. 

7.3.1 Критерий Михайлова

Рассмотрим характеристический полином: 

 λ⁴ + 1.01*λ³ + 27.302*λ² + 0.275*λ¹ + 0.068 

Подставим вместо . Тогда полином можно представить в виде . 

Линейная непрерывная  система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда годограф Михайлова , начинающийся на положительной вещественной полуоси, при изменении частоты от до обходил в положительном направлении n квадрантов, где n – степень характеристического полинома 

Для построения годографа  Михайлова воспользуемся следующим  программой MatLab: 

A = [-1.01 1 0 0; -27.302 0 1 0; -0.2725 0 0 1; -0.068 0 0 0]

B = [ 0; -15; -6; -0.087]

C = [1 0 0 0]

D= [0]

sys = ss(A, B, C, D);

W = tf(sys)

sys_d=c2d(sys,10)

W_d = tf(sys_d)

 

[q p] = tfdata(W(1),'v');

pU = [p(1) 0 -p(3) 0 p(5)]

pV = [-p(2) 0 p(4) 0]

%корни полиномов

corU = roots(pU)

corV = roots(pV)

%выбираем  максимальный из корней

mcor = max([corV; corU])

om = [0:0.001:0.2];%omega

%подставляем  в полином

y = polyval(p, om*i);

subplot(1,2,1)

plot(real(y), imag(y))

grid on

om = [0:0.0001:0.2];

y = polyval(p, om*i);

subplot(1,2,2)

plot(real(y), imag(y))

grid on 

На графиках видно, что годограф Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси, а в точке (0,0) обходит начало координат  в положительном направлении  все 4 квадранта. Следовательно, выполняется критерий Михайлова и система является асимптотически устойчивой. 
 

7.3.2 Критерий Найквиста 

Критерий Найквиста:

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом  состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы  , не охватывает точку . Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический полином имеет корней в правой полуплоскости, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ охватывала точку в положительном направлении раза.

Данная система  устойчива в разомкнутом состоянии. 

W(s)= 
 
 
 
 
 
 
 

Приведем  график амплитудофазочастотной характеритики:

 
 

Данный годограф  охватывает точку (-1;j0) и делает обороты вокруг нее, что говорит о неустойчивости непрерывной системы после замыкания.

8. Анализ устойчивости  дискретных объектов  и систем управления

Рассмотрим математическую модель объекта в пространстве состояний:

- модель (4) 

8.1 Корневые критерии устойчивости

Корневые критерии устойчивости сводят анализ устойчивости объекта к анализу корней характеристического  уравнения.  

Решение системы  является асимптотически устойчивым тогда и только тогда, когда корни характеристического уравнения принадлежат единичной окружности с центром в начале координат.

Т.е. - множество всех корней характеристического уравнения. 

Решение – асимптотически устойчиво тогда и только тогда для    

Собственные числа матрицы A_д равны: 
 

Условие выполняется, следовательно, решение системы является асимптотически устойчивым. 

8.1.1 Критерий Ляпунова. 

Согласно этому  критерию дискретной системе в пространстве состояний ставится в соответствие матричное алгебраическое уравнение  Ляпунова. Если решение уравнения  Ляпунова будет симметричным, положительно определенным, а также единственным,  тогда наша система будет является асимптотически устойчивой. Итак, составим уравнение Ляпунова:

Здесь Q - симметричная положительно определенная матрица, матрица P - матрица неизвестных. Поскольку Q - симметричная матрица, то и P - будет симметричной матрицей.

Решим уравнение  Ляпунова для дискретной системы  при помощи функции MatLab dlyap. 

Ad = 

    0.3366   -0.1034    0.0277    0.0392

    2.8134    0.2322   -0.0755    0.0673

    0.0266   -0.0103    0.9881    0.9954

    0.0070   -0.0019   -0.0027    0.9989 

  

Sampling time: 1 

P = 

  1.0e+004 * 

    0.0012    0.0000   -0.0000    0.0001

    0.0000    0.0001   -0.0001   -0.0050