Анализ и синтез системы автоматического управления с заданной структурной схемой

      Следовательно, если требуется, чтобы  автоматическая система регулирования имела  степень устойчивости, больше α, и коэффициентом затухания колебаний, больше m,  необходимо чтобы все корни характеристического уравнения располагались внутри области VI.

Оценка  качества переходного процесса по амплитудно-частотной  характеристике замкнутой САР.

        Амплитудно-частотная  характеристика  замкнутой САР получается в  результате измерения выходного  сигнала, когда входной синусоидальный  сигнал имеет постоянную амплитуду  и частота изменяется от 0 до ∞.

      Допустим, что в результате эксперимента получена следующая амплитудно-частотная характеристика (рисунок №8).

      

      

      Рисунок №8. Амплитудно-частотная характеристика. 

      В результате многочисленных исследований САР установлено, что чем больше А_max тем более колебательным является переходный процесс. Отношение максимального значения амплитуды к значению амплитуды начальной части называют показателем колебательности и обозначают буквой M. Обычно САР проектируют таким образом, чтобы значение М находилось в диапазоне 1,2 – 1,5. При малых значениях М система «вялая» и имеет большое время регулирования, при больших М – увеличивается перерегулирование и САР приближается к границе устойчивости. Кроме частоты ω_max характерными частотами амплитудно – частотной характеристики являются частота среза замкнутой системы ω_сз и частота полосы пропускания ω_п. Частота ω_сз определяет диапазон частот вынужденных колебаний, которые пропускает САР без ослабления (амплитуды входных и выходных колебаний равны между собой) на этой частоте. Частота ω_п определяется на уровне 0,707 от начального значения амплитуды.

      

      Полоса  пропускания влияет на точность и  быстродействие системы. С увеличением  полосы пропускания быстродействие САР увеличивается, чем больше полоса пропускания, тем больший спектр выходного сигнала передаётся системой без искажений, следовательно, точность отработки выходного сигнала  повышается. Однако при наличии высокочастотных  помех во входном сигнале  не целесообразно расширять полосу пропускания, т.к. при этом САР будет одинаково хорошо пропускать как полезный сигнал, так и помехи. Таким образом, показатель колебательности и Полоса пропускания замкнутой системы являются косвенными показателями качества переходного процесса и их необходимые значения могут служить исходными данными при проектировании САР.

Оценка  качества процесса по комплексной частотной  и логарифмическим частотным  характеристикам.

        Оценка качества процесса регулирования  по комплексной частотной характеристике  разомкнутой системы. Так как  при приближении точки ω₂ комплексной частотной характеристики справа к точке с координатами (-1;j0) устойчивая система приближается к границе устойчивости, то степень устойчивости замкнутой системы находится в прямой зависимости от степени удалённости точки пересечения комплексной частотной характеристики разомкнутой системы с отрицательной вещественной полуосью  –U(ω) от точки (-1; j0). Расстояние c от упомянутой точки пересечения (рисунок №9) до точки (-1; j0) называют запасом устойчивости по модулю.

      

   Рисунок №9. Определение запаса устойчивости по модулю и фазе с помощью комплексной  частотной характеристики разомкнутой системы.

      Угол γ, образованный вещественной отрицательной полуосью и лучом, проведённым из начала координат через точку пересечения комплексной частотной характеристики с окружностью единичного радиуса, имеющей центр в начале координат, называют запасом устойчивости системы по фазе. Запас по модулю c показывает, насколько должен измениться модуль комплексной частотной характеристики при её неизменных фазовых соотношениях для выхода системы на границу устойчивости. Таким образом, запас устойчивости по модулю представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы относительно его критического по устойчивости значения. В связи с этим возмущающие воздействия на систему, приводящие к увеличению её коэффициента усиления без изменения фазового сдвига регулируемой величины, назовём возмущающим воздействием по модулю.

      Запас устойчивости по фазе γ оказывает, насколько возрастёт запаздывание по фазе в системе на частоте среза ω_ср  при неизменном значении коэффициента усиления на этой частоте, чтобы система оказалась ан границе устойчивости. В связи с этим возмущающие воздействия на систему, приводящие к увеличению запаздывания в ней без изменения коэффициента передачи системы, назовём возмущающими воздействиями по фазе.

Косвенно  качественные показатели САР можно  определить, если известна логарифмическая  амплитудно-частотная характеристика САР. Предположим, что эта характеристика имеет следующий вид (рисунок  №10).  

      

      Рисунок №10. Логарифмическая  амплитудно-частотная  характеристика.

      

      

      На  основании многочисленных расчётов переходных процессов было установлено  что, для удовлетворительного качества регулирования участок средних  частот от ω₂ до ω₃ должен иметь наклон -20 дб/дек, протяжённость этого участка влияет на перерегулирование, в частности с его увеличением уменьшается колебательность переходного процесса.

      Приемлемое  качество переходного процесса имеет  место, если протяжённость этого  участка примерно равна декаде.

      Время регулирования зависит от частоты  среза ω, чем больше ω тем меньше время регулирования. В связи с возможностью оценки качества процесса регулирования по   логарифмической амплитудно – частотной характеристике введены типовые логарифмические амплитудно – частотные характеристики разомкнутых систем, которые отличаются друг от друга наклонами отдельных участков. Зная типовые логарифмические амплитудно-частотные характеристики можно таким образом рассчитать САР, чтобы она имела нужный характер переходного процесса.

Интегральные  оценки качества процесса.

      Динамической  ошибкой качества переходного процесса, возникающей при изменении воздействия  на систему называют переменную во времени разность

      

, где

      h(∞) – установившееся значение выходной величины после окончания переходного процесса;

      h(t) – текущее переменное значение выходной величины в течении переходного процесса.

      

      

      Рисунок №11. Кривые переходного процесса.

      На  рисунке №11, а  показана кривая х(t) переходного процесса перерегулирования, а на рисунке №11, б такая же но с перерегулированием. Из кривых видно, что чем меньше заштрихованная площадь на рисунке №11, а, тем быстрее ликвидируется динамическая ошибка. Следовательно, величина заштрихованной площади может служить мерой качества автоматических систем регулирования с переходными процессами без перерегулирования. Заштрихованная площадь на приведённом рисунке, измеряется определённым интегралом функции х(t) при изменении t от 0 до ∞.

      

      Интеграл  J₁ называют линейной интегральной  оценкой качества.

      Если  в переходном процессе имеются перерегулирования, то динамическая ошибка регулирования (рис 2.5б), за время переходного процесса в общем случае неоднократно изменяет знак. Если и в этих случаях пользуются линейной интегральной  оценкой  качества, то из суммы положительных  площадей вычитают сумму отрицательных  площадей и этот критерий неоднозначно связан с действительным качеством  системы. Например, при установившихся незатухающих колебаниях выходной величины положительные и отрицательные  площади, ограниченные кривой переходного  процесса, равны и линейная интегральная  оценка качества, следует  признать качество такой системы очень  хорошим; фактически же эта система  по качественным показателям практически  непригодна для использования. В  связи с этим при наличии перерегулирования  в переходном процессе и колебательном  его характере  применяют квадратичную интегральную оценку качества вида.

      

      

      Квадратичная  интегральная  оценка качества равна  площади ограниченной кривой х²(t) (рисунке №11, а). Однако  квадратичная интегральная  оценка качества процесса регулирования в ряде случаев также не даёт объективной оценки характера переходного процесса. Для примера рассмотрим              (рисунке №11, б) кривые апериодического процесса (кривая 1) и колебательного процесса (кривая 2) с большим коэффициентом колебательности.     
 
 
 

   . Квадратичные  интегральные оценки  качества.

   Квадратичная интегральная  оценка качества колебательного переходного процесса, меньше чем апериодического процесса. Фактически же в данном случае более приемлемым является апериодический процесс. Недостатки рассмотренных выше интегральных оценок качества обусловили появления так называемого обобщённого интегрального критерия вида:

      

, где

      V(t) – квадратичная форма отклонения регулируемой величины  и её производных, например

      

      Физический  смысл критерия J_v  состоит в том, что минимизируется не только величина и длительность отклонения регулируемой величины от заданного значения, но и производных от отклонения (скорость изменения отклонения, ускорение и т.п.).

      

      Постоянные  коэффициенты  γ₁, γ_2…. γ_n  выбирают с учётом ограничений отдельных динамических показателей переходного процесса. Так, чем больше коэффициент γ₁ тем больше роль второго слагаемого  , тем при равных значениях J_v переходный процесс более плавный, но зато и более длительный.

      Для большинства практических систем к  переходному процессу  предъявляются  следующие требования: минимизации  квадратичного интеграла динамической ошибки (заштрихованных площадей на рис 2.6) и скорости изменения регулируемой величины. В этом случае обобщённый интегральный критерий качества имеет  вид:

      

      Приближённое  построение переходного процесса по вещественной частотной характеристике системы.

      Переходный  процесс замкнутой системы полностью  определяется  передаточной функцией или комплексной частотной  характеристикой, которую можно разделить на вещественную U(ω) и мнимую V(ω) части.

      

      Из  приведённой формулы следует  что, используя вещественную или  мнимую частотные характеристики можно  используя специальную методику построить  переходный процесс замкнутой  системы автоматического управления. Эта методика построения переходного  процесса получила наибольшее распространение  т.к. не требует знаний высшей математики и реализуется за счёт простых  арифметических вычислений.

      

      К переходным процессам в линейных САР применим принцип суперпозиции. Это значит, что если входное воздействие  представить как  сумму составляющих воздействий и найти уравнения  или построить кривые переходных процессов, в системе для каждой составляющей по рознь, то переходный процесс создаваемый входным  воздействием в целом будет равен  сумме переходных процессов для  всех составляющих воздействий. На этом и основана методика определения  переходного процесса по вещественной частотной характеристике замкнутой системы при поступлении на её вход единичного ступенчатого воздействия.