Анализ и синтез системы автоматического управления с заданной структурной схемой

     Алгебраический  критерий устойчивости:

     Впервые был разработан Раусом в 1875году, в 1895 году Гурвиц усовершенствовал критерий устойчивости разработанный Раусом. При этом алгоритм по которому можно определить устойчивость был значительно проще поэтому и получил наибольшее распространения.

     Для того, чтобы воспользоваться критерием необходимо:

     

     В исходную функциональную схему  САР  представить в виде передаточной функции схему элементарных динамических звеньев. Преобразовать используя  правела преобразования структурных  схем до одной передаточной функции  и выделить в ней характеристическое уравнение. Используя характеристическое уравнения по определенному правилу  составляется матрица по результату вычислений которой определяют будет  система устойчивой или нет.

     При этом систему считают устойчивой если первый член характеристического  уравнения положителен и положительна вся матрица.

     Если  вычисленное значение отрицательное, то в этом случае систему считают  неустойчивой.

              
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.4. Определение устойчивости.

  1.4.1.Преобразование  структурных схем.

  Преобразование  структурных схем позволяет сколь  угодно сложную структурную схему  САУ преобразовывать до одной  передаточной функции из которой  можно получить дифференциальное уравнение  всей системе, а также в дальнейшем оценить такой важнейший показатель САУ, как устойчивость и используя  структурную схему также можно  относительно просто коррекцию САУ  используя для этого графические  и аналитические методы. С целью  получения устойчивой САУ:

  Последовательное  соединения звеньев.

  

  

  Параллельное  соединения звеньев.

  

  Передаточная  функция с отрицательной обратной связью.

  

  

    

  Кроме этих трех основных правил преобразования структурных схем существуют другие правила которые не требуют доказательств:   

  Перенос передаточной функции через узел суммирования.

 

  Перенос передаточной функции через узел разветвления.

  

  Перенос узла через передаточную функцию. 

    По  уравнениям связей заданным мне на курсовом проектировании, составлю структурную  схему системы автоматического  управления, которая имеет следующий  вид:      

    

    

    

    Начиная процесс преобразования в первую очередь осуществляется процесс  преобразования внутри структурно – функциональной схемы, а затем последовательно переходят на внешние связи.  

  Получим результирующую функцию через передаточную функцию отдельных элементов системы.

    

 

    

    

    

    

 
1.4.2. Определение устойчивости  частотным методом

    Критерий  Михайлова.

  Исходную  структурную схему преобразуют  для одной передаточной функции  убирая все обратные связи имеющие  место в такой системе.   

  

  W(p)=

  В полученной передаточной функции выделяют характеристическое уравнение.

   

  В полученном уравнение выделяют действительную и мнимую часть заменяя оператор р→jω.

    

  По  полученным значения действительной и  мнимой часть строят годограф.

  (рис.  приложения 7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Так как годограф всегда начинается на вещественном положении полуоси  и движется против часовой стрелки, и при своем движении годограф последовательно проходит n квадрантов комплексной плоскости и при этом частота меняется от 0 до ∞, то САР считается устойчивой.    
 
 

  

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

  

  1.4.3.Определение  устойчивости с  помощью ЛАЧХ и  СФЧХ.

  Исходную  структурную схему преобразовать  до одной отрицательной обратной связи, разорвать ее и представить  в виде нескольких последовательно  соединенных звеньев.

      

 

Звенья -    

Выделив, таким образом, из передаточной функции  элементарные динамические звенья, строем ЛАЧХ и ЛФЧХ для каждого звена, и выполняем алгебраическое сложение (рис. приложения 1,2,3)

     Сравнивая ЛАЧХ и ЛФЧХ мы видим, что ЛАЧХ проходится под осью частот, значит коэффициент  усиления системы меньше единицы, т.е. мы не попадаем в характерную точку – j1,0, относительно которой определяем устойчивость или не устойчивость САУ. Следует, что САУ будет устойчивой.

    2. Качество процесса регулирования

2.1. Основные показатели  качества систем  автоматического  регулирования

 

      Устойчивость  является необходимым, но не достаточным  условием   пригодности САР  для практического использования. Кроме устойчивости реальная САР  должна удовлетворять ряду требований, характеризующих работу системы, как  в установившемся, так и в переходном режимах, т.е. обеспечивать необходимое  качество регулирования. Требования к  качеству регулирования зависят  от конкретных условий работы той  или иной системы. Однако можно выделить основные показатели, характеризующие  качество регулирования как в  установившемся, так и в переходном режимах работы всех САР.

      Различают следующие основные показатели качества:

      1. Установившаяся ошибка регулирования.  Основным показателем, характеризующим  качество регулирования в установившемся  режиме, является точность, с которой  поддерживается постоянство регулируемого  параметра. Точность характеризуется  величиной ошибки, т.е. величиной  отклонения фактического значения  регулируемого параметра от его  заданного значения, так как в  установившемся режиме управляющее  и возмущающее воздействия неизменны,  ошибка регулирования тоже должна  быть неизменной, и поэтому она  получила название установившейся. Если управляющее воздействие,  а следовательно, и регулируемая  величина изменяются по линейному  закону, то возникающая при этом  ошибка регулирования называется  установившейся динамической ошибкой.      

      

      

        

      Рисунок №4. Зависимость установившейся ошибки регулирования от возмущающих воздействий  в статической системе. 

      2. Время регулирования или длительность  переходного процесса  , т.е. интервал времени от момента приложения к системе воздействия до момента, когда отклонение регулируемого параметра x_вых(t) от заданного значения x_{вых.уст} не  будет превышать некоторой заданной величины Δx_вых. Этот показатель характеризует быстродействие системы. Чем меньше , тем лучше реагирует система на быстро изменяющиеся воздействия.

      3. Перерегулирование, под которым  понимается максимальное отклонение Δh_max регулируемого параметра от его установившегося значения h_уст. Удобно величину перерегулирования выражать в относительных величинах или процентах:

        

      Оптимальным  считают перерегулирование, находящееся  в диапазоне равном 20-30 %.

      

      Рисунок №5. Переходная функция системы с  перерегулирования.

      

      

      4. Колебательность системы характеризуется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования t_уст. Если за это время переходный процесс в системе совершает число колебаний меньше заданного, то система имеет требуемое качество регулирования по колебательности.

      

 

      Рисунок №6. Переходные процессы по каналу возмущающего воздействия в статической (а, б) и астатической (в, г) системах с различной  степени колебательности.

 
 

      2.2 Методы построения  переходных процессов  в САР

      

      

      Оценить качество автоматической системы регулирования  можно по кривой переходного процесса, которая представляет собой графическое  изображение решения дифференциального  уравнения системы. Однако, как уже  отмечалось, ввиду того, что реальные системы описываются дифференциальными  уравнениями  сравнительно высокого порядка, такое построение кривой переходного  процесса является весьма затруднительным, а подчас и невозможным. Значительно  проще снять кривую переходного  процесса экспериментально, но для  этого нужно иметь в своём  распоряжении действующую систему. Легко понять, насколько важно  иметь возможность оценивать  качество системы аналитически, так  как это позволяет не производить  затраты на изготовление дорогостоящих  макетов.  Научившись оценивать качество регулирования в процессе проектирования системы, можно найти способы обеспечения заданных свойств системы или, как принято говорить в теории регулирования, заданного качества регулирования. Эта задача решается с помощью синтеза корректирующих устройств, т.е. за счёт введения в систему таких дополнительных элементов  и связей, которые позволяют получить требуемое быстродействие, заданную колебательность переходного процесса при необходимой точности.

      В виду большой важности вопросов, связанных  с оценкой качества регулирования, теория автоматического управления располагает рядом различных  методов оценки качества регулирования, которые можно разделить на прямые и косвенные.

      К прямым относятся методы непосредственного  решения дифференциальных уравнений  системы и графического построения кривой переходного процесса. Эти  методы наиболее точны, однако с повышением порядка дифференциального уравнения  резко возрастает трудоёмкость анализа, особенно в тех условиях, когда  требуется выяснить влияние тех  или иных параметров системы на характер её переходного процесса. Решение  таких задач может быть эффективным при использовании вычислительных машин или моделирования систем регулирования.

      К косвенным относятся методы, позволяющие  обойти громоздкие вычислительные операции. Рассмотрим эти методы подробно.

Метод нахождения распределения корней характеристического  уравнения системы.

      Чем дальше корни характеристического  уравнения находятся от мнимой оси, тем быстрее заканчиваются переходные процессы в системе. При приближении  системы к границе устойчивости корни характеристического уравнения  системы перемещаются на комплексной  плоскости по направлению к мнимой оси. На границе устойчивости один вещественный или два сопряжённых комплексных  корня выходят на мнимую ось, а  при дальнейшем переходе системы  в неустойчивое состояние они  перемещаются в правую комплексную  полуплоскость.

      

      Одним из косвенных показателей качества устойчивых автоматических систем регулирования  является степень удалённости корней характеристического уравнения  замкнутой системы, лежащих в  левой  комплексной полуплоскости, от мнимой оси (рисунок №7).

      

      

      Расстояние α от ближайшего корня до мнимой оси характеризует запас устойчивости системы и называется степенью устойчивости этой системы. Величина α равна вещественной части корня, ближайшего к мнимой оси. Наибольший из углов γ, образованных  отрицательной действительной полуосью и лучами, проведёнными из начала координат через корни характеризует колебательность системы. Котангенс этого угла называется коэффициентом затухания колебаний или степенью колебательности. Если на комплексной полуплоскости корней провести прямую, параллельную мнимой оси, на расстоянии α от неё и два луча из начала координат под углами к отрицательной действительной полуоси получим шесть областей:  области I и II, соответствующие составляющим переходного процесса системы со степенью устойчивости, меньшей α, и коэффициентом затухания колебаний, меньшим m; область III со степенью устойчивости, меньшей α, и коэффициентом затухания колебаний, большим m; области IV и V со степенью устойчивости, большей α , и коэффициентом затухания колебаний, меньшим m; и область VI со степенью устойчивости, большей α, и коэффициентом затухания колебаний, большим m.