Анализ и синтез системы автоматического управления с заданной структурной схемой

    Свободная составляющая отражает внутренние динамические процессы,

      протекающие в системе автоматического  управления; вынужденная отражает  характер движения системы, когда  на нее действует внешние возмущающие  воздействие. 

   В общем случае решение свободной  составляющей отражается зависимостью,

   

    

где Ci – некторый постоянный коэффициент, Pit – корни характеристического уравнения, которые находятся в результате решения характеристическог оуравнения (знаменатель W (p) всей системы).

    При внимательном рассмотрении этого выражения  мы можем сделать следубщий вывод, что если х_св (t) → 0, при изменении времени от 0 до ∞, то, соответственно, это будет говорить о том, что эта составляющая обращается в 0 и всякое движение в системе прекращается (то есть система устойчива). Для того чтобы этого осуществить, каждый член этой суммы с течением времени должен обращаться в 0, а это возможно только, когда корни характерического уравнения Pit будут отрицательны. Однако, корни характеристического уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными. Комплексная часть этих корней отражает колебательность системы, так они связаны через преобразование 

Эйлера  соответствующими тригонометрическими  функциями. В результате мы имеем  два вида корней: вещественные и  комплексные, вещественные части которых  также отражаются ранее записанными  выражениями. Учитывая это, можно дать определение устойчивости с математической точки зрения.

    С математической точки зрения система  математического управления будет  устойчивой, если вещественные корни  и вещественные части комплексных  корней будут отрицательны. Этот вопрос был разработан Ляпуновым в 1892 году и получил

    название  теоремы Ляпунова. В частности, к этому определению можно добавить, что если корни характеристического уравнения линейной системы или хотя бы один из них будут равны нулю, или будут чисто мнимыми, то свойство устойчивости линейных систем будут неопределенным (критическим), система будет находится на границе устойчивости.

    Вынужденную составляющую мы не рассматриваем, так  как с физической точки зрения система устойчива, когда прекращается действие внешних возмущающих сигналов и переходные процессы в системе прекращаются, то есть определяющим для устойчивости или неустойчивости является свободная составляющая, которая в значительной степени определяет характер переходного процесса в системе.

    

    Нахождение  корней характеристического уравнения  при высокой его степени не всегда осуществимо, поэтому в результате соответствующих исследований математиками были разработаны специальные методы определения устойчивости, которые получили название критериев устойчивости, при этом все критерии разделили на алгебраические и частотные. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3. Критерии устойчивости

    Алгебраический  критерий устойчивости

    Алгебраический  критерий устойчивости системы впервые был разработан Раусом в 1885 г. Спустя 10 лет Гурвиц этот критерий усовершенствовал, при этом алгоритм по Горлицу оказался более удобным и получил широкое распространение, в связи с чем этот критерий иногда называют критерием Гурвица, а иногда Рауса-Гурвица.

    Этот  критерий позволяет определить устойчивость или неустойчивость  системы автоматического  управления, когда известно результирующее характеристическое уравнение всей системы автоматического управления в целом. Для того чтобы определить устойчивость системы автоматического  управления, используя критерий Гурвица, необходимо:

    1. Преобразовать структурную схему  до одной передаточной функции.

    2. В полученной функции выделить  характеристическое уравнение (знаменатель  W(p)).

    3. По полученному характеристическому  уравнению составляется матрица  определенным образом и проводится  ее вычисление. И если по результатам   вычисления результат будет положительным  и первый коэффициент при высшей  степени характеристического уравнения  положителен, то система автоматического  управления будет устойчива. Это  и есть определение устойчивости  по критерию Гурвица.

    

    Недостатком этого метода является то, что нельзя определить влияние отдельных параметров в системе на устойчивость, что  ограничивает широкое распространение  такого метода расчета устойчивости.

    Частотные критерии устойчивости

    Указанный критерий устойчивости получил наибольшее  распространение в инженерной практике, т.к. обладает рядом преимуществ  по сравнению с алгебраическим критерием  устойчивости. К преимуществам относятся:

• возможность сравнительно просто применять к системам, описываемым дифференциальными уравнениями высокого порядка;
• наглядность, обусловленная тем, что анализ устойчивости системы сводится к графоаналитическому исследованию кривой амплитудо-фазовой характеристики на комплексной плоскости.

    Таких критериев известно два:

    1. С помощью первого исследуется  устойчивость замкнутых систем  по их частотной характеристике (критерий А.В.Михайлова).

    2. Ко  второй относится критерий, позволяющий  судить об устойчивости замкнутой  системы по частотной характеристике  разомкнутой (критерий Найквиста  и логарифмические критерии устойчивости, которые, в свою очередь, базируются  на критерии Найквиста). При этом  следует отметить, что указанные  критерии требуют большего количества  вычислений, за исключением логарифмического  критерия, характеристики которого  строятся по характерным точкам.

    Критерий  Михайлова

    

    Рассмотрим  правила применения критерия Михайлова.

1. исходную структурную схему необходимо преобразовать до одной передаточной функции, устранив все обратные связи, имеющиеся в системе;
2. в полученной передаточной функции необходимо выделить характеристическое уравнение (знаменатель передаточной функции) и приравнять это выражение к нулю;
3. в полученном уравнении оператор p заменить на jw и выделить действительную -U(w) и мнимую jV(w) части;
4. для действительной и мнимой части расчитываем значения этих величин, при изменении w от -∞ до +∞, но т.к. ветви (-∞;0]  и [0; +∞) симметричны, то достаточно исследовать только одну ветвь годографа (изменение w от 0 до +∞).

    

    При изменении w от 0 до ∞ кривая годографа устойчивой системы поворачивается против часовой стрелки на угол = , поочередно проходя n квадрантов комплексной плоскости, где n-степень характеристического уравнения системы.

    Линейная  система n-го порядка  устойчива, если при изменении w от 0 до ∞ годограф Михайлова последовательно обходит n квадрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке [U(w)₀ ; jV(w)₀)] на положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через начало координат.                         

    

    Критерий  устойчивости Найквиста

    Американский  ученый Найквист изучал особенность работы усилителей с отрицательной обратной связью и определил, какие условия необходимо выполнять, применяя обратные связи, чтобы работа усилителя была устойчивой (усилитель не самовозбуждался). Русский ученый Михайлов применил теорию Найквиста к исследованию устойчивости систем автоматического управления, поэтому этот критерий иногда называют критерием устойчивости Найквиста-Михайлова.

    Для того, чтобы воспользоваться этим критерием, необходимо выполнить следующие  действия:

1. Преобразовать исходную структурную схему системы автоматического управления до одной отрицательной обратной связи ( главной отрицательной обратной связи)

2. Разорвать отрицательную  обратную связь и завершить процесс  преобразования, получив единую передаточную функцию всей системы, как произведение передаточной функции прямой ветви  и передаточной функции обратной
3. В полученной результирующей передаточной функции необходимо выделить действительную и мнимую части [U(w) и jV(w)], умножив числитель и знаменатель на число, комплексно сопряженное знаменателю
4. По полученным значениям действительной и мнимой частей строится годограф Найквиста-Михайлова, по характеру движения которого определяют, будет система автоматического регулирования устойчивой или нет.

    Определение критерия Найквиста: Если система автоматического регулирования устойчива в разомкнутом состоянии, а годограф амплитудо

    фазовой характеристики не охватывает точку  с координатами (-1;0), то эта система  будет устойчивой и в замкнутом  состоянии. Если же годограф охватывает эту точку, то в замкнутом состоянии  система автоматического управления будет неустойчивой. Если  амплитудо фазовая характеристика будет проходить через эту точку, то система автоматического управления будет на границе устойчивости.

    Применение  критерия Найквиста задача трудоемкая, поэтому на практике достаточно часто  применяют логарифмические критерии устойчивости, которые полностью  базируются на критерии Найквиста и  отличаются от него лишь тем, что отдельно строятся логарифмическая амплитудо-частотная характеристика и логарифмическая фазо-частотная характеристика, по частоте среза которой определяют будет система автоматического регулирования устойчива или нет.

    Логарифмический критерий устойчивости

     Для того, чтобы определить устойчивость САУ необходимо:

     

     Исходную  структурную схему преобразовать  до одной отрицательной обратной связи, разорвать ее и представить  в виде последовательно соединенных  звеньев. При этом желательно, чтобы  эти несколько последовательно  соединенных звеньев были представлены в виде произведения элементарных динамических звеньев. Если это условие не выполняется, то этого необходимо добиться в результате соответствующих математических преобразований.

     Для каждого элементарного динамического звена нужна построить типовые логарифмические, амплитудные и фаза частотные характеристики,. При этом желательно провести построения этих характеристик одна под другой с соблюдением одинакового масштаба.

     Получения таким образом ЛФЧХ и ЛАЧХ необходимо между собой алгебраически сложить  в результате получится результирующая АФЧХ и ЛЧХ вей системе в  целом. Потому, как ЛАЧХ пересекает ось частот и какое при этом значение имеет фаза можно будет  судить об устойчивости или неустойчивости САУ.

     Сам критерий устойчивости звучит следующим  образом: замкнутая система будет  устойчивая (при условии, что разомкнута или нейтральна) если при значении фазы амплитуда логарифмической характеристики разомкнутой системы имеет отрицательное значение.

     Если  ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает ось асбцис и часть раньше, чем эту же ось пересечет ЛАФЧХ, то замкнутая система будет устойчивая.