Средняя арифметическая определяется как:

,

где x_i – варианта – отдельное, возможное значение затрат времени;

N_i – частоты – численность отдельных групп соответствующих значений затрат времени.

= = 21,8 мин.

    Среднее значение затрат времени на оформление потребительского кредита для клиента крупного салона электроники города составляет 21,8 мин.

    Медиана - это такое значение признака, которое делит объем совокупности пополам в том смысле, что число элементов совокупности с индивидуальными значениями признака, меньшими медианы, равно числу элементов совокупности с индивидуальными значениями больше медианы. Для интервального ряда определим в каком интервале будет находиться накопленная частота, равная половине объема совокупности.

Ме[x] = х₀ + D_Ме*

где х₀ - начало интервала, содержащего медиану;

Δ_Ме - величина интервала (в данном случае ряд равноинтервальный);

F(x₀) - накопленная частота на начало интервала, содержащего медиану;

N - объем совокупности;

N_Me - частота того интервала, в котором расположена медиана.

    В данном примере медианным является среднее из 34 значений, т.е. 17 от начала ряда (как видно из ряда накопленных частот оно находится в четвертом интервале).

Ме[x] = 22 + 3,8* = 23,1 мин.

    У половины клиентов на оформление потребительского кредита уходит 23,1 мин.

    Мода - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Для интервального ряда вначале определяется интервал, содержащий моду, тот которому соответствует наибольшая частота. Затем приближенно определяется значение моды:

Мо[х] = х₀ + D_Мо* ,

где х₀ - начало интервала, содержащего моду;

Δ_Мо - величина интервала, содержащего моду;

N_Mо - частота того интервала, в котором расположена мода;

N_Mо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

N_Mо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Мо[х] = 25,8 + 3,8* = 26,9 мин.

    Чаще всего встречаются затраты времени на оформление потребительского кредита в размере 26,9 мин.

    Абсолютные  показатели вариации:

1. Размах вариации: 29,6 – 10,8 = 18,8 мин. – максимальное значение признака затрат времени на оформление потребительского кредита отличается от минимального на 18,8 мин.
2. Среднее линейное отклонение определяется по формуле:

а = .

3. Дисперсия вычисляется по формуле:

.

Таблица 4.2

Расчет  среднего линейного отклонения и дисперсии

а = = 5,04 мин.

= = 32,1

4. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

s_х = = = 5,7 мин. – среднее отклонение затрат времени на оформление потребительского кредита у отдельных клиентов составляет 5,7 мин.

5. Относительный показатель вариации:

V = *100% = *100% = 26,15% - так как показатель получился меньше 33%, совокупность по признаку является однородной.

Задача  № 5

    Используя результаты расчетов, выполненных в задании 4, и полагая, что данные задания 1 получены при помощи случайного 10%-бесповторного отбора, определить:

1. пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет среднее значение затрат времени клиента на оформление кредита, рассчитанное по генеральной совокупности;
2. как нужно изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку средней величины затрат времени на получение кредита на 20%?
3. пределы, за которые в генеральной совокупности не выйдет значение доли клиентов, у которых индивидуальные значения признака превышают моду (уровень доверительной вероятности 0,997);
4. как изменится объем выборки, если снизить предельную ошибку доли клиентов, у которых индивидуальные значения признака превышают моду, на 20%?

Решение

    Полагаем, что значение затрат времени клиента  на оформление кредита получено при  помощи случайного 10% бесповторного  отбора.

    Средняя величина затрат времени клиента  на оформление кредита:

= 21,8 мин.

    Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности измеряются средней ошибкой выборки, которая представляет собой среднее квадратичное отклонение возможных значений выборочных характеристик от генеральных.

    При бесповторном отборе, при котором  попадание в выборку одних и тех же единиц исключено, средняя ошибка выборки определяется следующим образом:

= 0,922 мин.

    Так как выборка достаточно велика (n = 34 > 20), то считается, что ошибка распределена по нормальному закону. Теория устанавливает соотношение между предельной и средней ошибкой выборки, гарантируемое с некоторой вероятностью:

D = m*t,

где Δ - предельная ошибка выборки;

μ - средняя  ошибка выборки;

t - коэффициент доверия (по таблице для доверительной вероятности 0,954 - t = 2).

D = 0,922*2 = 1,844 мин.

    Определим с доверительной вероятностью 0,954 пределы доверительного интервала  для средней величины:

= 21,8 ± 1,844 мин., то есть 19,956 £ £ 23,644.

    Среднее значение затрат времени клиента на оформление кредита не выйдет в генеральной совокупности с вероятностью 0,954 за пределы интервала [19,956; 23,644] мин.

    Так как величина ошибки выборки зависит  от численности выборочной совокупности n, при подготовке выборочного наблюдения возникает задача определения необходимой численности выборки, чтобы обеспечить заданную точность вычисления. Для бесповторного отбора необходима численность выборки (т.к. предельная ошибка снизилась на 20%, то для новой выборки Δ^* = Δ*80% = 1,844*0,8 = 1,475 мин.):

n = = 50 ед.

    Для снижения предельной ошибки средней  величины времени клиента на оформление кредита на 20% необходимо увеличить объем выборки до 50 единиц. 

    При бесповторном отборе, при котором  попадание в выборку одних  и тех же единиц исключено, средняя ошибка выборки определяется следующим образом:

= 0,066.

    Так как выборка достаточно велика (n = 34 > 20), то считается, что ошибка распределена по нормальному закону. Теория устанавливает соотношение между предельной и средней ошибкой выборки, гарантируемое с некоторой вероятностью:

D = m*t,

где Δ - предельная ошибка выборки;

μ - средняя  ошибка выборки;

t - коэффициент доверия (по таблице для доверительной вероятности 0,997 - t = 3).

D = 0,066*3 = 0,198.

    Определим с доверительной вероятностью 0,997 пределы доверительного интервала для доли клиентов, у которых индивидуальное значение признака превышают моду:

= 0,206 ± 0,198, то есть 0,008 £ £ 0,404.

    Доля  клиентов, у которых индивидуальные значения затрат времени на оформление кредита превышают моду, в генеральной совокупности с вероятностью 0,997 не выйдет за пределы интервала [0,008; 0,404].

    Для бесповторного отбора необходима численность  выборки (т.к. предельная ошибка снизилась  на 20%, то для новой выборки Δ^* = Δ*80% = 0,198*0,8 = 0,158):

n = = 244 ед.

    Для снижения предельной ошибки доли клиентов, у которых затраты времени на оформление кредита превышают моду, на 20% необходимо увеличить объем выборки до 244 единиц.

Задача  № 6

    Имеются данные о динамике средних цен на вторичном рынке  жилья по районам  Санкт-Петербурга, 2006 г. (руб. за м²):

    На  основе соответствующих  данных определить:

1. цепные показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста;
2. базисные показатели динамики: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.