Статистические методы анализа рядов динамики

4.2 Произведено выборочное обследование партии готовых изделий. При механическом бесповторном отборе 6% изделий, установлено, что 75 единиц отнесены к нестандартной продукции (несоответствие по весу). Распределение выборочной совокупности по весу, табл.

Данные о  готовых изделиях                                        Таблица 4.3

Вес изделия	Число изделий	Середина интервала x'
400-410	45	405
410-420	75	415
420-430	160	425
430-440	90	435
440-450	30	445
Итого	400

 

Определить  для всей партии изделий:

1. с вероятностью 0,954 возможные пределы среднего веса изделия в генеральной совокупности;
2. с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса нестандартной продукции в генеральной совокупности.

 

Решение:

   Механическая  выборка заключается в отборе единиц из общего списка единиц генеральной  совокупности через равные интервалы  в соответствии с установленным  процентом отбора. При определении  средней ошибки механической выборки  применяются те же формулы что  и при собственно-случайном бесповторном отборе.

Определим средний  вес изделия:

Рассчитаем  с вероятностью 0,954 возможные пределы  среднего веса. Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t=2):

    Средний квадрат выборочной величины равен: 

Рассчитаем  дисперсию:

   Дисперсия равна разности среднего квадрата выборочной величины и квадрата средней выборочной величины: 

Подставляя  значения в формулу, получим:

=424,6±1,045

    То  есть с вероятностью 0,954 можно утверждать, что возможные значения предельного  веса находятся в пределах от 423,58 до 425,67.

Рассчитаем  с вероятностью 0,997 возможные пределы  удельного веса нестандартной продукции  в генеральной совокупности. В  этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии, которая вычисляется так:

,

Где - доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности, в нашей задаче m=75

_{или 19%}

Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997 (t=3):

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

0,19-0,05≤р≤0,19+0,05

0,14≤р≤0,24

    Таким образом, удельный вес нестандартной  продукции, с вероятностью 0,997 лежит  в пределах от 14 до 24% от объёма генеральной совокупности. 
 
 
 
 

5. Метод корреляционно-регрессионного  анализа

По исходным статистическим данным о численности  персонала и прибыли предприятия, представленным в таблице 5.1, выполнить следующие задания:

1. оценить тесноту связи между результативным и факторным признаком, проверить коэффициент корреляции на статистическую значимость.

    (см. приложение 3)

2. построить уравнение парной регрессии между прибылью и численностью работников, дать содержательную характеристику коэффициентам регрессионного уравнения.
3. оценить коэффициент детерминации, сделать выводы о качестве построенной регрессии, проверить коэффициент детерминации на статистическую значимость, (см. приложение 4).
4. оценить коэффициент эластичности, сделать вывод.

 
 

Статистика  численности и прибыли предприятия  за 1997-2011гг.       Таблица 5.1 
 

Численность работающих, чел.	Чистая прибыль, тыс. руб.
72	59
737	483
43	57
590	441
395	291
714	526
446	348
603	412
167	92
631	419
555	382
123	132
459	305
302	229
264	229

В таблице 5.2 приведены  промежуточные расчеты для решения  задачи.

№	Численность работающих, чел.     х	Чистая прибыль, тыс. руб.                         у	ух	х ^2	у ^2
1	72	59	4248	5184	3481
2	737	483	355971	543169	233289
3	43	57	2451	1849	3249
4	590	441	260190	348100	194481
5	395	291	114945	156025	84681
6	714	526	375564	509796	276676
7	446	348	155208	198916	121104
8	603	412	248436	363609	169744
9	167	92	15364	27889	8464
10	631	419	264389	398161	175561
11	555	382	212010	308025	145924
15	123	132	16236	15129	17424
13	459	305	139995	210681	93025
14	302	229	69158	91204	52441
15	264	229	60456	69696	52441
сумма	6101	4405	2294621	3247433	1631985
ср. знач.	406,73	293,67	152974,73	216495,53	108799,00

 

В таблице 5.2 наблюдаем  наличие прямой зависимости между  признаками, когда с увеличением  численности работников возрастает чистая прибыль предприятий.

Для определения тесноты связи между исследуемыми переменными оценим значение линейного коэффициента корреляции:

   Полученное  значение коэффициента корреляции показывает, что связь между численностью работников и чистой прибылью предприятия  является очень сильной, так как  .

   Проверим  статистическую значимость полученного  коэффициента корреляции с помощью  t-статистики Стьюдента и найдем для него доверительные интервалы.

   Расчётное значение t-критерия Стьюдента: 

   Определим табличное значение критической  величины t-критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05:

   Число степеней свободы: 

   По  таблице определяем для 

   Так как , то коэффициент корреляции значим.

 Построим линейное уравнение парной регрессии: 

где - среднее значение результативного признака при определённом значении факторного признака x; a – свободный член уравнения регрессии; b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на одну единицу его измерения.

Рассчитаем  параметры уравнения регрессии:

,

Уравнение регрессии  примет вид:

.

    Свободный член линейного уравнения парной регрессии  показывает усредненное влияние на размер чистой прибыли предприятия (на результативный признак) числа работников предприятия (факторного признака).

    Коэффициент корреляции показывает на сколько тысяч рублей в среднем изменится чистая прибыль предприятия при изменении численности его работников на одну единицу.

Коэффициент детерминации равен:

То есть связь  между факторами является тесной прямолинейной; следовательно, вариация прибыли на 96% обусловлена вариацие численности человек, а остальные 4% связаны с влиянием других неучтенных в модели факторов.

   Фактическое значение F-критерия Фишера для парной линейной регрессии: 

   где n=15 – число наблюдений.

   Табличное значение критерия Фишера найдем, определив число степеней свободы: 
 

   здесь m - количество факторов, n – число наблюдений.

   Соответствующее табличное значение F-критерия Фишера: 

   Таким образом , следовательно уравнение регрессии является статистически значимым.

   Коэффициент эластичности показывает, на сколько  процентов измениться в среднем  результативный признак, если факторный  признак изменится на 1%. Формула  для расчета коэффициента эластичности имеет вид: 

Выразив производную, определим коэффициент  эластичности: 

Таким образом, увеличение численности работников на 1 % приведет к увеличению чистой прибыли предприятия в среднем  на 0,91 %. 

6. Статистические методы  анализа рядов  динамики

На основе данных о выручке предприятия  за 5 лет, представленным в таблице  6.1, определить:

 а) абсолютные  приросты выручки (базисные и  цепные),

б) темпы роста  и прироста выручки (базисные и цепные),

в) среднюю  выручку за 5 лет,

г) средний  абсолютный прирост выручки,

д) средний  темп роста и пророста выручки.

                Данные о выручке предприятия за 2006-2010гг.           Таблица 6.1

Год	Выручка предприятия, млн. руб.
2006	12,2
2007	12,4
2008	12,8
2009	13,1
2010	13,5

Решение:

Промежуточные расчеты для решения задачи. Таблица 6.2