Статистические методы анализа рядов динамики

 

Решение:

1. Среднюю прибыль малых предприятий вычислим по формуле:

_,

    где – i-ый вариант осредняемого признака. - вес или частота повторения i-го варианта.

    В данном случае осредняемым признаком  является прибыль предприятий, а  частотой повторения этих признаков  является количество предприятий в  группах по размеру их прибыли.

    Так как значения осредняемого признака заданы в виде интервалов, то в расчетах берем их середины. 

Следовательно, средняя прибыль малых предприятий  составляет 13 тыс. руб. в  месяц.

2. Вычисляем моду распределения малых предприятий по размеру прибыли.

   Мода (Mo) – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.

Для расчета  определенного значения модальной  величины признака, заключенного в  интервале, применяют формулу:

,

Где Х_Мо - минимальная граница модального интервала;

i_Мо - величина модального интервала;

f_Мо - частота модального интервала;

f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Чтобы найти  моду, первоначально определим модальный  интервал данного ряда. Видно, что  наибольшая частота соответствует  интервалу, где варианта лежит в  пределах от 5 до 10. Это и есть модальный интервал. Величина модального интервала равна 5. Частота модального интервала f_Мо= 10.

Подставляя  числовые значения из таблицы в указанную  выше формулу, получим:

        Исчислим теперь медиану. Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал). Таким интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Комулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака. Половина суммы частот у нас равна 13,5 (27:2). Следовательно, согласно таблицы медианным интервалом будет интервал со значением от 10 тыс. руб. до 15 тыс. руб.                                                    Таблица 3.2

Прибыль, тыс. руб.	Количество предприятий	Комулятивные частоты	Число предприятий, % к итогу	Накопленная частота  (S)
5-10	10	10	37	37
10-15	7	17	26	63
15-20	6	23	22,2	85,2
20-25	4	27	14,8	100
Итого	27		100	-

   В случае интервального вариационного  ряда распределения конкретное значение медианы вычисляется по формуле: 

   здесь и – соответственно нижняя граница, и величина медианного интервала; - сумма частот вариационного ряда; - частота медианного интервала; - сумма накопленных частот в домедианном интервале.

   Тогда медиана равна: 

   Следовательно, половина малых предприятий имеет  прибыль менее 12,5 тыс. руб. в месяц.

   Полученные  значения средней величины, медианы  и моды соотносятся между собой  следующим образом: 

   то  есть, имеет место правосторонняя асимметрия, при которой большая часть единиц совокупности имеет значения признака выше модального, а на графике распределения правая ветвь вытянута больше, чем левая.

3. Дисперсия (σ²) – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины. Для сгруппированных данных она вычисляется по формуле:

;

   Извлечём  квадратный корень из дисперсии и  получим величину среднего квадратического  отклонения:

  Таким образом, каждое индивидуальное значение прибыли малых предприятий отклоняется  от их средней величины на 4,98 тыс. руб.

4. Коэффициент вариации определим по формуле:

,

То есть совокупность является неоднородной, т.к. величина показателя превышает 33%.

   Мерой асимметричности распределения  является отклонение между характеристиками центра распределения. Поскольку в  симметричном распределении , то чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение .

   Определим структурный коэффициент асимметрии, называемый коэффициентом асимметрии Пирсона, вычисляемый по формуле: 

   Подставив в приведенную выше формулу найденные  ранее значения среднего арифметического  ряда распределения, моды и среднего квадратического отклонения, вычислим коэффициент асимметрии: 

   Полученное  значение As>0, следовательно, скошенность ряда правосторонняя (т.е. ).

   Показатель  эксцесса распределения характеризует  островершинность или плосковершинность  распределения по сравнению с  нормальным распределением при той  же силе вариации. Таким образом, эксцесс  – это отклонение вершины эмпирического  распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Эксцесс рассчитаем по формуле:

,

Так как значение эксцесса меньше 0, то распределение  плосковершинное. 
 
 

4. Выборочный  метод

 

1. Для анализа  структуры вкладов населения  было проведено выборочное бесповторное собственно-случайное обследование 8% банковских вкладов. В результате получено следующее распределение:

Данные по вкладам банка                                                            Таблица 4.1

Размер  вклада, тыс. руб.	До 10	10-20	20-30	30-40	40,0 и более
Кол-во вкладов	20,0	25,0	40,0	10,0	5,0

Определить:

а) с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего размера  вклада для всей совокупности вкладов  населения;

б) с вероятностью 0,954 возможные пределы отклонения доли вкладов свыше 40 тыс. руб.

Решение:

При бесповторном отборе средняя ошибка выборки определяется по формуле: 

   где - дисперсия признака в генеральной совокупности; n – численность выборки; N – численность генеральной совокупности.

   Для определения средней ошибки выборки  необходимо, прежде всего, рассчитать выборочную среднюю величину и дисперсию  изучаемого признака (табл. 4.2).

  Таблица 4.2

  Расчёт  среднего размера вклада и дисперсии

Размер  вклада x, тыс.руб.	Количество  вкладов, f	Середина интервала, x'	xf	x2f
1	2	3	4	4
до 10	20	5	100	500
10--20	25	15	375	5625
20--30	40	25	1000	25000
30--40	10	35	350	12250
40 и более	5	45	225	10125
Итого	100	--	2050	53500

   Для расчёта выборочной средней величины найдём середины интервалов x' (графа 3, табл. 4.2) и умножим их на веса f_i, а затем определим сумму найденных произведений (графа 4, табл. 4.2).

   Выборочную  среднюю величину рассчитаем по формуле: 
 

   Дисперсию определим как разность среднего квадрата выборочной величины и квадрата средней выборочной величины: 

   В свою очередь, средний квадрат выборочной величины рассчитаем по формуле: 

   Подставив соответствующие значения из табл. 4.2, найдем: 

   Численность выборки n равна . Указанный объём выборки составляет 8% от численности генеральной совокупности.

   Численность генеральной совокупности равна: 

   Тогда средняя ошибка выборки равна: 

   Предельная  ошибка выборки связана с заданным уровнем вероятности. Для требуемого уровня вероятности 0,997 ( t=3- коэффициент доверия).

   Тогда предельная ошибка выборки равна: 

   Определим границы генеральной средней  в виде: 

   Для заданной вероятности 0,997 получены следующие  границы генеральной средней: 

   или 

   Таким образом, на основании проведенного выборочного исследования с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний  размер вклада лежит в пределах от 17,46 до 23,62 тыс. руб. 

   Определим долю вкладов, размер которых превышает 40 тыс. руб. Доля выборки определяется как отношение числа единиц выборочной совокупности n=5 к числу единиц генеральной совокупности N=100. 

   Рассчитаем  дисперсию доли выборки по формуле: 

   Средняя ошибка доли выборки при бесповторном отборе равна: 

   Подставив найденное значение дисперсии доли выборки , объём выборки n=100, а также объём генеральной совокупности N=1250, рассчитаем среднюю ошибку доли выборки: 

   Для требуемой вероятности 0,954 коэффициент  доверия t=2. Тогда предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит: 

   Определим возможные пределы отклонения доли вкладов свыше 40 тыс. руб. с заданной вероятностью: 
 

   или 

   Вывод: доля вкладов, размер которых превышает 40 тыс. руб., с вероятностью 0,954 лежит в пределах от 0,8 до 9,2% от объёма генеральной совокупности.