Статистическая обработка данных о надежности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4 Определение оценок параметров закона Вейбулла

 

Оценка  параметров масштаба а, формы b и сдвига с методом моментов осуществляется по выборке независимых наблюдений случайной величины X. Определение производится по значению коэффициента асимметрии с помощью специальных таблиц, в следующем порядке:

 

- по полученному значению r_В из формулы 1.5 при помощи линейной интерполяции находим оценку параметра b и значения коэффициентов g_b и K_b;

 

- определяем оценку для параметра  а по формуле:

;                                                (3.4.1)

 

- находим значение  по формуле:

 

;                                            (3.4.2)

= 217,6448 –194,9591·0,8971 = 42,733

 

Так как 42,733 < 97,8, принимаем с = 42,733.

Интерполяцию  будем производить по схеме Эйткина. По зависимости значений параметра  формы от коэффициента асимметрии в  двух точках

ρ_b0 = 0,078, b₀ =3,3,

ρ_b1 = 0,051, b₁ = 3,4,

взятых  так, что ρ_b0 > ρ_b > ρ_b1.

Найдем  с помощью схемы Эйткина значение b для ρ_b = 0,073 с помощью формулы:

.                                      (3.4.3)

 

Аналогичным образом находим значения коэффициентов g_b и K_b:

 

 

 

Плотность распределения  закона Вейбула будет иметь вид:

 

(3.4.4)

 

 

 

 

где х – середина интервала;

 

Интегральная  функция распределения найдется по формуле:

                               (3.3.4)

 

 

 

 

Сводим  значения и в таблицу 3.4.1

Таблица 3.4.1 – Значения и

0,001516	0,0323665
0,003173	0,0996845
0,00501	0,2193869
0,006332	0,3870185
0,006479	0,5772338
0,005321	0,7521154
0,00344	0,8805941
0,001705	0,9544065

 

 На основании полученных результатов строим на гистограмме функцию плотности распределения и интегральную функцию по всем четырем законам распределения.

 

 

 

 

4  Проверка соответствия  с помощью критериев согласия

 

Соответствие принятого (теоретического) закона распределения экспериментальному при достаточно большом объеме выборки  данных (результатов наблюдений) оценивается  по критериям согласия.

Обычно проверка содержит следующие  основные этапы:

- определяют некоторое число, называемое критерием согласия, основываясь на полученных статистических данных;

- определяют вероятность получения  статистических данных, адекватных  вычисленному критерию при условии,  что закон распределения выбран  правильно; это выполняют с  помощью таблицы процентилей распределения критерия;

- если вероятность получить  вычисленное значения критерия, адекватное статистическим данным, мала, то принятая статистическая  модель распределения не дает  правильного описания данных.

Однако следует четко представлять, что эта методика позволяет отвергнуть модель как неправильную, все же она не позволяет доказать, что модель верна. Исход статистических испытаний в значительной мере зависит от числа имеющихся данных: чем больше данных, тем больше шансов отвергнуть неправильную модель. Если данных очень мало, то часто невозможно установить неадекватность даже такой модели, которая существенно отличается от принятой.

Разработано множество критериев  для оценки справедливости принятых допущений о распределениях. Некоторые критерии справедливы лишь для определенных моделей, другие применимы для широкого круга распределений.

 

4.1 Проверка  с помощью критерия Пирсона

 

Основным  преимуществом этого критерия является то, что он может быть использован  для проверки допущения о любом распределении, даже в случае, если не известны значения параметров распределения. Главный недостаток критерия – его нечувствительность к обнаружению адекватной модели, когда число наблюдений невелико. На практике при применении критерия Пирсона необходимо, чтобы число наблюдений, попавших в интервал, было не менее пяти. Если на какой то интервал попадает менее пяти значений, его объединяют с соседним.

В случае, когда значения параметров распределения определены, полученные эмпирические частоты попадания исходных данных в интервал m_j сопоставляются с частотами, вычисленными по теоретическому уравнению плотности распределения вероятностей m׳_j, вычисляемые по формуле:

m׳_j = n · f_j · Dx,                                       (4.1.1)

где  n - объем выборки;

f_j - плотность распределения вероятностей, вычисленная по

теоретическому  уравнению плотности распределения  принятого закона для середины каждого  интервала.

 

Для экспоненциального закона:

 

 

 

;                                      (4.1.2)

где - количество попаданий на гистограмме;

k – число степеней свободы.

 

Таблица 4.1.1 – Расчет значения χ²

Номер интервала   j	Середина интервала	Теоретическое значение функции плотности распределения вероятности f( )	Теоретическая частота   m׳j	Опытная частота   mj
1	112,3875	0,00274151			0,331
2	141,5625	0,00239758
3	170,7375	0,0020968	3,548102839	10	11,732
4	199,9125	0,00183375	3,10298446	13	31,567
5	229,0875	0,0016037	2,713707296	8	10,298
6	258,2625	0,00140252	2,373265926	8	13,34
7	287,4375	0,00122657	2,075533778	7	11,684
8	316,6125	0,00107269	1,815152873	5	5,588
					χ2 = 84,54

 

 

Так как χ² = 84,54, то не существует

 

Гипотеза  о принадлежности опытных данных для экспоненциального закона отвергается.

 

Для нормального закона:

 

У нормального закона распределения  два параметра (п = 2), значит число  наложенных связей s = 3. Так как число интервалов сократилось за счет объединения интервалов, число степеней свободы k = 4.

 

Таблица 4.1.2 – Расчет значения χ²

Номер интервала   j	Середина интервала	Теоретическое значение функции плотности распределения  вероятности f( )	Теоретическая частота   m׳j	Опытная частота   mj
1	112,3875	0,00132835			0,00425
2	141,5625	0,00291167
3	170,7375	0,00495795	8,39	10	0,309
4	199,9125	0,00655834	11,098	13	0,326
5	229,0875	0,00673931	11,404	8	1,016
6	258,2625	0,00537981	9,103	8	0,134
7	287,4375	0,00333618	5,645	7	0,325
8	316,6125	0,00160717	2,72	5	1,912
					χ2 = 4,03

 

Гипотеза  о принадлежности опытных данных для нормального закона не отвергается.

 

 

Для логарифмически-нормального закона:

 

У логарифмически- нормального закона распределения два параметра (п = 2), значит число наложенных связей s = 3. Так как число интервалов сократилось за счет объединения интервалов, число степеней свободы k = 4.

Таблица 4.1.3 – Расчет значения χ²

 

 

 

 

Номер интервала   j	Середина интервала	Теоретическое значение функции плотности распределения  вероятности f( )	Теоретическая частота   m׳j	Опытная частота   mj
1	112,3875	0,001144842			0,243
2	141,5625	0,003837494
3	170,7375	0,00632957	10,711	10	0,047
4	199,9125	0,006902157	11,679	13	0,149
5	229,0875	0,005815082	9,84	8	0,344
6	258,2625	0,004141032	7,007	8	0,141
7	287,4375	0,002634081	4,457	7	1,45
8	316,6125	0,001550923	2,624	5	2,15
					χ2 =4,525

 

Гипотеза  о принадлежности опытных данных для логарифмически - нормального закона не отвергается.

 

 

 

Для закона Вейбула:

 

У логарифмически- нормального закона распределения два параметра (п = 3). Так как число интервалов сократилось за счет объединения интервалов, число степеней свободы k = 3.