Статистическая обработка данных о надежности

Число инверсий .

Таким образом, принимаем количество интервалов, равное 8, т.к. количество инверсий минимально, а количество интервалов наибольшее.

2. Графическое представление случайной величины

 

 

Для определения вида закона распределения  случайной величины удобно представить  данные наблюдений в графическом  виде. Для графического представления  данных наблюдения используется специальный  график – гистограмма.

Гистограмма является важным вспомогательным средством при принятии гипотезы о виде функции распределения. Поэтому необходимо извлечь из нее максимум информации.

При построении гистограммы по оси абсцисс  откладывают в выбранном масштабе интервалы, и, взяв их как основания, строят прямоугольники, высота которых равна статистической плотности распределения на интервале. Построенная таким образом ступенчатая функция f_j называется гистограммой выборки. Эта функция служит статистическим аналогом плотности распределения вероятности случайной величины и на j-ом интервале определяется по формуле 2.1.

 

f_j = m_j / (n∙Dx).                                              (2.1)

 

Рассчитаем f_j  для каждого из полученных интервалов, результаты сведем в таблицу 2.1.

Таблица 2.1 – Значения функции распределения f_j

Количество интервалов	Значение функции распределения  fj
4	0,0020684	0,006796	0,004728	0,0035458
5	0,0025855	0,004802	0,006648	0,0048016	0,002585468
6	0,0022161	0,004432	0,006648	0,0048755	0,004432231	0,00310256
7	0,0020684	0,00362	0,006205	0,0062051	0,004653843	0,00465384	0,002585
8	0,0017729	0,002364	0,00591	0,0076825	0,004727713	0,00472771	0,004137	0,002955

 

При построении нескольких гистограмм с разным количеством интервалов лучшей нужно считать гистограмму, имеющую меньшее число инверсий. Признаком инверсии считается изменение знака приращения высоты прямоугольника. Если число инверсий одинаково, лучшей следует считать ту, которая имеет большее число интервалов.

Таким образом, мы выбираем в качестве наилучшей гистограмму с и числом интервалов .

По данным статистического ряда можно вычислить еще одну характеристику случайной величины - эмпирическую интегральную функцию распределения. Значение эмпирической интегральной функции распределения для j-ого интервала F_j определяется по формуле:

F_j = m_i / n.                                                 (2.2)

Функция распределения  может быть представлена в виде графика, который строится подобно гистограмме, только высоты прямоугольников равны значениям функции распределения соответствующих интервалов. Найдем значения функция распределения для наилучшей гистограммы.

Результаты  по которым строится наилучшая гистограмма и сводятся в таблицу 2.2.

Таблица 2.2 – Значения и

0,001773	0,051724
0,002364	0,12069
0,00591	0,293103
0,007683	0,517241
0,004728	0,655172
0,004728	0,793103
0,004137	0,913793
0,002955	1

 

Пример графика приведен в приложении А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Подгонка теоретических распределений к эмпирическим

 

Для оценки случайной величины с помощью закона распределения вначале необходимо определить, к какому параметрическому семейству он принадлежит. Предварительно теоретический закон распределения может быть подобран, исходя из следующих рекомендаций:

- принципиальный характер кривой  распределения назначается по  теоретическим соображениям, связанным с существом задачи, или аналогичным задачам;

- в некоторых случаях теоретическую  кривую выбирают, учитывая внешний  вид статистического распределения;

- иногда полезно использовать  систему кривых Джонсона или  Пирсона, каждая из которых зависит от четырех параметров, и выбор нужной кривой можно осуществить с использованием специально разработанных графиков;

- при использование ЭВМ для  расчетов можно определить несколько  законов распределения и выбрать  наилучший.

Для определения параметров выбранного закона распределения в математической статистике разработан ряд методов. Наиболее часто используют метод моментов, согласно которому параметры выбирают с таким расчетом, чтобы важнейшие числовые характеристики теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам.

Для определения точечных оценок используют также метод наименьших квадратов, при котором сумма квадратов  отклонений должна обращаться в минимум.

 

3.1  Определение оценок параметров экспоненциального закона

 

Оценка  параметра распределения, , находится по формуле:

 

= 1 / ,                                                  (3.1.1)

                                               

где   - оценка математического ожидания выборки

Плотность распределения  экспоненциального закона будет  иметь вид:

 

                                                                            (3.1.2)    

 

где х – середина интервала

 

        

Остальные значения сводим в таблицу 3.1.1

Интегральная  функция распределения найдется по формуле:

 

              (3.1.3)      

 

 

        Остальные значения также сводим  в таблицу 3.3.1

Таблица 3.1.1 – Значения и

0,00274151	0,4033236
0,00239758	0,4781781
0,0020968	0,543642
0,00183375	0,6008932
0,0016037	0,6509622
0,00140252	0,6947498
0,00122657	0,7330442

 

 

3.2 Определение оценок параметров нормального закона

 

Оценка  параметра m_t, представляющего собой среднее значение случайной величины x, равна оценке математического ожидания выборки.

 

 

Оценка  параметра σ равна оценке среднего квадратического отклонения выборки.

 

Плотность распределения нормального закона будет иметь вид:

 

(3.2.1)

 

 

где х – середина интервала;

- число попаданий на данном  интервале.

        

Интегральная  функция распределения найдется по формуле:

 

 (3.2.2)

 

где - табличный интеграл Лапласа.

Для того, чтобы  найти интеграл Лапласа необходимо рассчитать t:

                                     (3.2.3)

 

 

Значения t приведены в таблице 3.2.1

Таблица 3.2.1 – Значения t

№	t	Ф(t)
1	-1,81	-0,4649
2	-1,31	-0,4019
3	-0,81	-0,291
4	-0,31	-0,1217
5	0,20	0,0793
6	0,70	0,258
7	1,20	0,3849
8	1,70	0,4554

 

       Тогда :    

 

 

Сведем  все значения и в таблицу 3.2.2

Таблица 3.2.2 – Значения и

0,00132835	0,0351
0,00291167	0,0981
0,00495795	0,209
0,00655834	0,3783
0,00673931	0,5793
0,00537981	0,758
0,00333618	0,8849

 

 

 

 

 

3.3 Определение оценок параметров логарифмически нормального

      закона

 

Параметр m вычисляется по формуле:

                                              ,                                               (3.3.1)

где - значения наработки;

       n - объем выборки.

Параметр S вычисляется по формуле:

 

.                                        (3.3.2)

 

Значения параметров , , сводим в общую таблицу:

Таблица 3.3.1 – Значения ,

5,345	0,2852

 

Параметр t вычисляется по формуле:

                                                                                         (3.3.2)

Значения t приведены в таблице 3.3.2

Таблица 3.3.2 – Значения t

№	t	Ф(t)
1	-2,18	-0,48537
2	-1,38	-0,4162
3	-0,72	-0,2642
4	-0,17	-0,0675
5	0,31	0,1217
6	0,73	0,2673
7	1,11	0,3665
8	1,45	0,4265

 

Плотность распределения логарифмически нормального закона будет иметь вид:

 

 

 

(3.3.3)

 

где х – середина интервала;

- параметр распределения.

 

 

 

 

Интегральная  функция распределения найдется по формуле:

 

 (3.3.4)

 

где - табличный интеграл Лапласа.

 

       Тогда :    

 

 

Сводим  значения и в таблицу 3.2.2

Таблица 3.3.3 – Значения и

0,001144842	0,0147
0,003837494	0,0838
0,00632957	0,2358
0,006902157	0,4325
0,005815082	0,6217
0,004141032	0,7673
0,002634081	0,8665