Статистическая обработка данных о надежности

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Транспортный факультет

 

Кафедра автомобили и безопасность движения

 

 

 

 

 

ОТЧЕТ

по  расчетно-графической работе

по  дисциплине «Основы теории надежности и диагностика»

Статистическая  обработка данных о надежности

ГОУ ОГУ 190601.6511.08 О

 

 

 

 

 

 

 

 

Руководитель

_________Архирейский  А.А.

«_____»_____________2012г.

Выполнил

студент гр. 09-ААХ2

____________Клоков М.П.

«_____»_____________2012г.

 

 

 

 

 

 

 

Оренбург 2012

 

 

Содержание

 

 

1	Оценка характеристик случайной  величины….....………………….……
1.1	Точечные  оценки……………………..…….………………………....……
2	Графическое представление случайной величины………………………
3	Подгонка  теоретических распределений к  эмпирическим... …………...
3.1	Определение оценок параметров экспоненциального  закона ………….
3.2	Определение оценок параметров нормального закона ………..………...
3.3	Определение оценок параметров логарифмически нормального закона ..
3.4	Определение оценок параметров закона Вейбулла ……………………
4	Проверка  соответствия с помощью критериев  согласия ……………
4.1	Проверка  с помощью критерия Пирсона ………………….....…………
4.2	Проверка  с помощью критерия Колмогорова …………………………
	Заключение……………………………………………………..…
	Список  используемых источников…………………………………….
	Приложение  А Гистограммы и графики функций  распределения…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Оценка характеристик  случайной величины

 

 

Случайную величину можно достаточно полно  охарактеризовать, определив ее наиболее вероятное значение и рассеяние относительно него.

Для описания наиболее вероятного значения случайной величины используют математическое ожидание, которое является положением центра группирования значений случайной величины. Математическое ожидание вычисляют как среднее арифметическое значение случайной величины. В качестве характеристик рассеяния используют дисперсию – сумму квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания.

Математическое  ожидание и дисперсия, ввиду малого объема выборки и ее случайности, являются случайными величинами. Поэтому  на практике выборочные числовые характеристики подвергаются некоторому исправлению. Исправленные числовые характеристики называются оценками.

 

1. Точечные оценки 

 

Исходные  данные:

248; 214,8; 101; 197,1; 244; 253,5; 161,9; 190,2; 203,1; 326,4; 280,8; 207,4; 230,6; 163,9; 163,3; 216; 229,4; 144,1; 262,2; 158,5; 326,1; 198,8; 319,5; 274,8; 172,1; 209,6; 233; 191,2; 134,4; 170,4; 235,5; 170,2; 97,8; 127,3; 186,7; 259,8; 166,8; 181,6; 183,7; 204,6; 231,8; 295; 223; 292,5; 271,5; 197,2; 214,1; 185,8; 209,2; 249,6; 137,6; 126,9; 282,6; 272,6; 331,2; 304,2; 276,7; 281,8.

Необходимо  найти характеристики случайной величины.

Найдем  оценку математического ожидания с  помощью формулы:

 

                            

                                           (1.1)

 

где: n - объем выборки.

- i-тая реализация случайной величины.

 

 

Оценку  дисперсии можно определить по формуле (1.2), но на практике, для облегчения расчетов, используют следующее соотношение:

 

Таким образом, статистическая дисперсия определяется по формуле:

  

 

                           (1.2)

 

 

Среднее квадратическое отклонение определим  как корень квадратный из дисперсии:

 

                          (1.3)      

 

Коэффициент вариации, оценивающий рассеивание  в относительных единицах определяется по формуле:

 

 

                         (1.4)                         

 

 

Найдем  оценку асимметрии по формуле: 

 

                             

                    (1.5)

 

где:

 

 

Эксцесс, характеризующий плосковершинность  кривой распределения:

 

 

 

 

 

 

 

 

  (1.6)     

 

 

 

Данные числовые характеристики называются точечными, так как они характеризуют  данную случайную величину одним  числом. При небольшом числе испытаний указанные характеристики, как правило, отличаются от их истинных значений.

На  практике, для удобства представления  и обработки, данные, полученные в  результате наблюдений, группируют по интервалам. Группированные данные представляют в виде границ интервалов и количества наблюдений, попавших в каждый интервал.

Вычислим приближенное количество интервалов группирования по формуле:

 

                                  

                                          (1.7)

 

где: n – объем выборки.

 

 

Полученное  значение округляем в меньшую  сторону .

Упорядочим  значения наработки в порядке  возрастания:

97,8; 101; 126,9; 127,3; 134,4; 137,6; 144,1; 158,5; 161,9; 163,3; 163,9; 166,8; 170,2; 170,4; 172,1; 181,6; 183,7; 185,8; 186,7; 190,2; 191,2; 197,1; 197,2; 198,8; 203,1; 204,6; 207,4; 209,2; 209,6; 214,1; 214,8; 216; 223; 229,4; 230,6; 231,8; 233; 235,5; 244; 248; 249,6; 253,5; 259,8; 262,2; 271,5; 272,6; 274,8; 276,7; 280,8; 281,8; 282,6; 292,5; 295; 304,2; 319,5; 326,1; 326,4; 331,2.

Рассчитаем  величину интервала группирования  по формуле (1.8), учитывая следующие принципиальные положения:

• величина ∆х выбирается постоянной для всех интервалов;
• выбор величины ∆х зависит от количества наблюдений и разброса их значений, рекомендуется задавать величину интервала такой, чтобы получилось не менее 6 и не более 20 интервалов;
• рекомендуется определять количество интервалов k при заданном количестве n по формуле Стенжерса:

 

 

                      (1.8)

 

 

 

  При слишком малом числе интервалов разбиения (интервал велик), плохо выявляются характерные особенности распределения. С ростом числа интервалов характерные особенности выявляются все лучше, но лишь до определенно придела. Необходимое количество интервалов должно быть: , , , , .  С помощью таблицы 1.1 подсчитаем число попаданий результатов наблюдений и середину каждого интервала группирования при

Таблица 1.1 – Подсчет ,  

Номер интервала	Границы интервала	Середина  интервала,	Число попаданий,
1	97,8…136,7	117,25	5
2	136,7…176,5	156,15	10
3	176,5…214,5	195,05	15
4	214,5…253,4	233,95	11
5	253,4…292,3	272,85	10
6	292,3…331,2	311,75	7

 

                                

                                          (2.0)

где - i-тая реализация случайной величины;

- ширина интервала.

 

                                  (2.1)

 

Число инверсий в данном случае .

Далее принимаем число интервалов , ширина интервала .

Таблица 1.2 – Подсчет ,  

Номер интервала	Границы интервала	Середина  интервала,	Число попаданий,
1	97,8…156,15	126,975	7
2	156,15…214,5	185,325	23
3	214,5…272,8	243,675	16
4	272,8…331,5	302,025	12

Число инверсий .

Принимаем число  интервалов , ширина интервала .

Таблица 1.3 – Подсчет ,  

Номер интервала	Границы интервала	Середина  интервала,	Число попаданий,
1	97,8…144,48	121,14	7
2	144,48…191,16	167,82	13
3	191,16…237,84	214,5	18
4	237,84…261,18	261,18	13
5	261,18…331,5	307,86	7

 

Число инверсий .

Затем принимаем число интервалов , ширина интервала .

Таблица 1.4 – Подсчет ,  

Номер интервала	Границы интервала	Середина  интервала,	Число попаданий,
1	97,8…131,143	114,4714	4
2	131,143…164,486	147,8143	7
3	164,486…197,83	181,1571	12
4	197,83…231,17	214,5	12
5	231,17…264,51	247,8429	9
6	264,51…297,86	281,1857	9
7	297,86…331,5	314,5286	5

Число инверсий . 
           И наконец, принимаем число интервалов , ширина интервала .

Таблица 1.5 – Подсчет ,  

Номер интервала	Границы интервала	Середина  интервала,	Число попаданий,
1	97,8…126,975	112,3875	3
2	126,975…156,15	141,5625	4
3	156,15…185,325	170,7375	10
4	185,325…214,5	199,9125	13
5	214,5…243,675	229,0875	8
6	243,675…272,85	258,2625	8
7	272,85…302,025	287,4375	7
8	302,025…331,5	316,6125	5