Понятие о статистике и краткие сведения из ее истории

    Графический образ – это совокупность точек, линий и фигур, с помощью которых изображаются статистические данные.

    Вспомогательными элементами графика являются:

1) поле графика; 2) пространственные ориентиры; 3) масштабные ориентиры; 4) экспликация графика состоит из объяснения: а) предмета, изображаемого графиком (его названия); б) смыслового значения каждого знака, применяемого на данном графике.

    Статистические  графики классифицируются:1) по назначению или содержанию: а) графики сравнения в пространстве; б) графики различных относительных величин (структуры, динамики и т.п.); в) графики вариационных рядов; г) графики размещения по территории; д) графики взаимосвязанных показателей. 2) по способу построения: а) диаграммы; б) картодиаграммы. 3) по характеру графического образа: а) точечные; б) линейные; в) плоскостные (столбиковые, квадратные, круговые, секторные, фигурные); г) объемные. 
 

1. Средние величины: сущность, значение, виды

      Важный  вклад в обоснование и развитие теории средних величин внес крупный  ученый XIX века Адольф Кетле (1796-1874), член Бельгийской академии наук, член-корреспондент Петербургской академии наук.

    Средняя величина -  обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности.  Она определяет его типичный уровень в расчёте на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

    Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность (единицу измерения), что и признак у отдельных единиц совокупности.

    Основным  условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя.

      Существуют  две категории средних величин:

• степенные (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая);
• структурные (мода, медиана).

    Степенная средняя – корень степени k из средней всех вариантов, взятых в k–й степени, имеет следующий вид:

     .

где – признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком,

      х_i     или (х₁, х₂…х_n) – величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности,

      f_i – повторяемость индивидуального значения признака.

    В зависимости от степени k получаются различные виды степенных средних, формулы расчета которых показаны ниже в таблице 1.                                                     

                      Таблица 1  – Виды степенных  средних 

      f_i – частота повторения индивидуального значения признака (его вес)

    Весом может быть и частотость, т.е. отношение  частоты повторения индивидуального  значения признака к сумме частот:

    Выбор вида средней величины:

    Средняя арифметическая простая применяется в случае, если индивидуальное значение признака у единиц совокупности на повторяется или встречается одни раз или одинаковое число раз, т.е. когда средняя рассчитывается по несгруппированным данным.

          Когда отдельное  значение изучаемого признака встречается  несколько раз у единиц изучаемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных средних.

    Если  по условию задачи необходимо, чтобы  неизменной оставалась при осреднении суммы величин, обратных, индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.

    Если  при замене индивидуальных величин  признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить среднюю геометрическую. Средняя геометрическая используется для расчета средних темпов роста в анализе рядов динамики.

    Если  при замене индивидуальных величин  признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной. Средняя квадратическая используется для расчета среднего квадратического отклонения при анализе вариации признака в рядах распределения.

      Степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные и чем больше показатель степени k, тем больше  и величина соответствующей средней, если все исходные значения признака равны, то и все средние равны этой постоянной:

      

гарм. ≤ _геом. ≤ _арифм. ≤ _кв. ≤ _куб.

      Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.

    Структурные средние применяют в том случае, когда расчет степенных средних  невозможен или нецелесообразен.

    К структурным средним  относят: моду и медиану.

    Мода  – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. При наличии вариантов и частот в ряду распределения величина моды соответствует значению признака у наибольшего числа единиц (наибольшей частоте), т.е. для дискретного вариационного ряда мода находится по определению.

    Медиана – значение признака у единицы совокупности в середине ранжированного ряда распределения, когда все индивидуальные значения признака изучаемых единиц расположены в порядке их возрастания или убывания.

    В случае нечетного числа наблюдений медиана находится по определению, т.е. вариант (где n – число наблюдений). При четном числе наблюдений медиана определяется по формуле:

    Для интервального ряда распределения  величина моды и медианы рассчитываются по следующим формулам: ;  ,

где:    - нижняя граница модального или медианного интервала;

      -  величина интервала;

  и - частоты, предшествующие и следующие за модальным интервалом;

      - частота модального или медианного интервала;

  - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному. 

      Расчет  медианы по несгруппированным данным производится следующим образом:

    1. Индивидуальные значения признака  располагаются в возрастающем  порядке. 2. Определяется порядковый номер медианы  № Ме = (n+1) / 2 

3. Показатели  вариации, сущность, значение, виды. Законы вариации

    Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели.

    К абсолютным показателям (мера) вариации относятся: размах колебаний, среднее абсолютное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

    Размах  вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями признака: .

    Размах  вариации показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего  ряд распределения

      Среднее абсолютное отклонение (САО) - средняя из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от средней.

       (простая),             (взвешенная)

      Дисперсия- средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

    (простая),          (взвешенная)

    Дисперсия может быть разложена на составные  элементы, позволяющих оценить влияние  различных факторов, обуславливающих  вариацию признака

      

    т.е. дисперсия равна разности между  средним квадратом значений признака и квадратом средней.

    Свойства  дисперсии, позволяющие упростить способ ее вычисления:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.
2. Если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число раз, то дисперсия не уменьшится.
3. Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится в k² раз.

 

    Среднее квадратическое отклонение (СКО) представляет собой корень квадратный из дисперсии, показывает насколько в среднем колеблется величина признака у единиц изучаемой совокупности: s =

    СКО является мерилом надежности. Чем  меньше СКО, тем лучше средняя  арифметическая отражает собой всю  представляемую совокупность.

 

    Размах  вариации, САО, СКО являются величинами именованными, т.е. имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

    Существуют 4 вида дисперсии: общая, межгрупповая, внутригрупповая, групповая.

    Дисперсию, вычисляемую для всей совокупности в целом называют общей дисперсией. Она измеряет колеблемость зависимого признака (результатного), вызванную действием на него  всех без исключения факторов.

     Общая дисперсия  равна сумме средней из внутригрупповой  и межгрупповой дисперсии: 

    Если  совокупность разбита на группы, то для каждой группы может быть определена своя дисперсия, характеризующая вариацию внутри группы. Групповая дисперсия – средние квадратические отклонения от групповой средней, т.е. от средней величины признака в данной группе.

    

    где j – порядковый номер x и f в пределах группы.

    Групповая дисперсия характеризует вариацию признака в пределах группы за счет всех прочих факторов, кроме положенного  в основании группировки.

     Измерение вариации по совокупности в  целом, исчисляем как среднюю из внутригрупповых дисперсии: 

    где – групповые дисперсии,

          n_j – число единиц в группах.