Цели и задачи государственной и ведомственной метрологических служб

Понятие центра распределения

Координата центра распределения  показывает положение случайной величины на числовой оси и может быть найдена несколькими способами. Наиболее фундаментальным является центр симметрии, т.е. нахождение такой точки Х_м на оси х, слева и справа | от которой вероятности появления различных значений случайной величины одинаковы и равны 0,5:

Точку Х_м называют медианой или 50% -ным квантилем. Для ее нахождения у распределения случайной величины должен существовать только нулевой начальный момент.

Можно определить центр распределения  как центр тяжести распределения, т.е. такой точки X , относительно которой опрокидывающий момент геометрической фигуры, огибающей которой является кривая р(х), равен нулю:

Эта точка называется математическим ожиданием. Следует отметить, что у некоторых распределений, например распределения Коши, не существует МО, так как определяющий его интеграл расходится.

При симметричной кривой р(х) в качестве центра может использоваться абсцисса моды, т.е. максимума распределения Х_м. Однако существуют распределения, у которых нет моды, например равномерное. Распределения с одним максимумом называются одно модальными, с двумя — двух модальными и т.д. Те из них, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными.  Для двухмодальных распределений применяется оценка центра в виде центра сгибов: где х_с1, х_с2 — сгибы, т.е. абсциссы точек, в которых распределение достигает своих максимумов. Для ограниченных распределений (равномерного, трапецеидального, арксинусоидального и др.) применяется оценка в виде центра размаха: где х,, х₂ — первый и последний члены вариационного ряда, соответствующего распределению.

Разные оценки центра имеют  различную эффективность. При статистической обработке экспериментальных данных важно использовать наиболее эффективную из них, т.е. оценку, имеющую минимальную дисперсию. Это связано с тем, что погрешность в определении Х_ц влечет за собой неправильную оценку СКО, границ доверительного интервала, эксцесса, контрэксцесса, вида распределения и др., т.е. всех последующих оценок, кроме энтропийных.

 

16) Моменты распределения вероятности.  Математическое ожидание и дисперсия.  Коэффициент асимметрии. Эксцесс  и контрэксцесс.

Моменты распределений

Все моменты представляют собой некоторые средние значения, причем если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называют начальными, а если от центра распределения, то центральными. Начальные и центральные моменты г-го порядка определяются соответственно по формулам

 

Нулевой начальный момент равен единице. Он используется Также с помощью начального момента нулевого порядка вводится понятие медианы распределения. Первый начальный момент — МО случайной величины:   Для результатов измерений оно представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины. Начальные и центральные моменты случайной погрешности Л совпадают между собой и с центральными моментами результатов измерений: а_г [Л] = ц_г [А] = Ц_г [х], поскольку МО случайной погрешности равно нулю. Следует также отметить, что первый центральный момент тождественно равен нулю. Важное значение имеет второй центральный момент называемый дисперсией и являющийся характеристикой рассеивания случайной величины относительного МО. Значительно чаще в качестве меры рассеивания используется среднее квадратическое отклонение имеющее такую же размерность, как и МО. Для примера на рис. 6.3 показан вид нормального распределения при различных значениях СКО. Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют важные черты распределения: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него. Для"более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. С его использованием вводится коэффициент асимметрии. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов распределения при различных значениях коэффициента асимметрии приведен на рис. 6.4,а.

Третий центральный  момент

Рис. 6.4. Вид дифференциальной функции распределения при различных  значениях коэффициента асимметрии (а) и эксцесса (б)

Четвертый центральный момент  служит для характеристики плоско- или островершинности распределения. Эти свойства описываются с помощью эксцесса

Значения коэффициента е' лежат в диапазоне от -2 до °°. Для нормального распределения он равен 0. Чаще эксцесс задается формулой Его значения лежат в диапазоне от 1 до w. Для нормального распределения он равен трем. Вид дифференциальной функции распределения при различных значениях эксцесса показан на рис. 6.4,6. Для удобства часто используют контрэксцесс Значения контрэксцесса лежат в пределах от 0 до 1. Для нормального закона он равен 0,577.

 

17) Законы распределения случайных  погрешностей.

Энтропийное значение погрешности   Развитие теории вероятностей применительно к процессам получения измерительной информации привело к созданию вероятностной теории информации. С точки зрения этой теории смысл измерения состоит в сужении интервала неопределенности от значения, известного до его проведения, до величины d, называемой энтропийным интервалом неопределенности, ставшей известной после измерения. Энтропийный интервал определяется, по формуле , где Дэльта Э – энтропийное значение погрешности. — энтропия действительного значения х измеряемой величины вокруг полученного после измерения значения х_д, т.е. энтропия погрешности измерений; р(х) — плотность распределения вероятности измеряемой величины.

Основное  достоинство информационного подхода  к описанию измерений состоит в том, что размер энтропийного интервала неопределенности может быть найден строго математически для любого закона распределения. Это устраняет исторически сложившийся произвол, неизбежный при волевом назначении различных значений доверительной вероятности.

Основные законы распределения

Множество законов распределения  случайных величин, используемых в метрологии, целесообразно классифицировать следующим образом: 1) Трапецеидальные (плосковершинные) распределения; 2) уплощеные (приблизительно плосковершинные) распределения; 3) экспоненциальные распределения; 4) семейство распределений Стьюдента; 5) двухмодальные распределения.

 

Трапецеидальные распределения

К трапецеидальным распределениям относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона). Равномерное распределение (рис. 6.5,а) описывается уравнением Трапецеидальное распределение (рис 6.5,6) образуется как композиция двух равномерных распределений шириной а, и а2.

Рис. 6.5. Распределения: а — равномерное; б — трапецеидальное; в — треугольное (Симпсона)

Треугольное (Симпсона) распределение (рис. 6.5,в) — это частный случай трапецеидального, для которого размеры исходных равномерных распределений одинаковы.

где Х_ц> a, b — параметры распределения.

Равномерное распределение  имеют погрешности: квантования  в цифровых приборах, округления при  расчетах, отсчета показаний стрелочного прибора, от трения в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах или подпятниках, определения момента времени для каждого из концов временного интервала при измерении частоты и периода методом дискретного счета. Суммируясь между собой, эти погрешности образуют трапецеидальные распределения с различными отношениями сторон.

Экспоненциальные  распределения Экспоненциальные распределения описываются формулой

где - некоторая характерная для данного распределения константа; Х_ц — координата центра; Г(х) — гамма-функция. В нормированном виде, т.е. при Х_ц =0 и оХ= 1,

где А(а) — нормирующий множитель распределения.

Интегральная функция  нормированного экспоненциального  распределения описывается выражением Вид экспоненциальных распределений при различных значениях показателя а приведен на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Экспоненциальные распределения

 

Нормальное распределение (распределение  Гаусса)

Наибольшее распространение  получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гауссах где о — параметр рассеивания распределения, равный СКО; Х_ц — центр распределения, равный МО.

При введении новой переменной t = (х-Хц)/а из (6.6) получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения  и выражению абсциссы в долях  СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей [48, 49]. Определенный интеграл с переменным верхним пределом называют функцией Лапласа. Для нее справедливы следующие равенства:

Ф(-оо) = -0,5; Ф(0) = 0; Ф(+оо) = 0,5; O(t) = -O(t). Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t) связана с функцией Лапласа формулой F(t) = 0,5+Ф(1>). Поскольку интеграл не выражается через элементарные функции, то значения функции Лапласа для различных значений t сведены в таблицу.

Уплощенные распределения

Данные распределения  представляют собой композицию равномерного и какого-либо экспоненциального распределения. Уплощенные распределения отличаются от экспоненциальных тем, что при почти плоской вершине имеют длинные, медленно спадающие "хвосты", в то время как экспоненциальные распределения обрываются тем круче, чем более плоской является их вершина

 

 

 

18) Цели и задачи стандартизации. Виды стандартов. Принципы и методы  стандартизации.

Понятие стандартизация охватывает широкую область общественной деятельности, включающую в себя научные, технические, хозяйственные, экономические, юридические, эстетические, политические аспекты. В нашей стране действует государственная система стандартизации (ГСС), объединяющая и упорядочивающая работы по стандартизации в масштабе всей страны, на всех уровнях производства и управления на основе комплекса государственных стандартов. Стандартизация – установление и применение правил с целью упорядочения деятельности при участии всех заинтересованных сторон. Стандартизация должна обеспечить возможно полное удовлетворение интересов производителя и потребителя, повышение производительности труда, экономное расходование материалов, энергии, рабочего времени и гарантировать безопасность при производстве и эксплуатации.

Объекты стандартизации: изделия, нормы, правила, требования, методы, термины, обозначения и т.п., имеющие перспективу многократного применения в науке, технике, и т.п.

В зависимости от формы  руководства стандартизацией и  сферы действия стандартов различают государственную, национальную и международную стандартизацию.

Государственная стандартизация – форма развития и проведения стандартизации, осуществляемая под руководством государственных органов по единым государственным планам стандартизации.

Национальная  стандартизация проводится в масштабе государства без государственной формы руководства. Международная стандартизация проводится специальными международными организациями или группой государств с целью облегчения взаимной торговли, научных, технических и культурных связей.

Устанавливаемые при стандартизации нормы оформляются в виде нормативно-технической  документации по стандартизации –  стандартов и технических условий.

Стандарт – нормативно-технический документ, устанавливающий комплекс норм, правил, требований к объекту стандартизации и утвержденный компетентным органом. Стандарт может быть разработан как на предметы (продукцию, сырье, образцы веществ), так и на нормы, правила, требования к объектам организационно-методического и общетехнического характера труда, порядок разработки документов, нормы безопасности, системы управления качеством и др.

Технические условия (ТУ) – нормативно-технический документ по стандартизации, устанавливающий комплекс требований к конкретным типам, маркам, артикулам продукции. Технические условия являются неотъемлемой частью комплекта технической документации на продукцию, на которую они распространяются.

Цели  и задачи стандартизации:  1)установление требований к качеству готовой продукции на основе стандартизации ее качественных характеристик, а также характеристик сырья, материалов, полуфабрикатов и комплектующих изделий; 2) разработка и установление единой системы показателей качества продукции, методов и средств контроля и испытаний, а также необходимого уровня надежности изделий с учетом их назначения и условий эксплуатации; 3) установление норм, требований и методов в области проектирования и производства с целью обеспечения оптимального качества и исключения нерационального многообразия видов, марок и типоразмеров продукции;4) развитие унификации промышленной продукции, повышения уровня взаимозаменяемости, эффективности эксплуатации и ремонта изделий; 5) обеспечение единства и достоверности измерений, создание государственных эталонов единиц физических величин;  и т.д.

Виды  и методы стандартизации:

Наряду со стандартизацией, осуществляемой в масштабах государства, широко используются: