Цели и задачи государственной и ведомственной метрологических служб

4. Личные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями наблюдателя. Такого рода погрешности вызываются, например, запаздыванием или опережением при регистрации сигнала, неправильным отсчетом десятых долей деления шкалы, асимметрией, возникающей при установке штриха посередине между двумя рисками.

По характеру своего поведения  в процессе измерения систематические  погрешности подразделяются на постоянные и переменные.

Постоянные систематические  погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и юстировке средств измерения и остаются постоянными при всех повторных наблюдениях. Поэтому, если уж они возникли, их очень трудно обнаружить в результатах наблюдений.

Среди переменных систематических погрешностей принято выделять прогрессивные и периодические.

Прогрессивная погрешность возникает, например, при взвешивании, когда одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, чем другое, поэтому быстрее нагревается и удлиняется. Это приводит к систематическому сдвигу начала отсчета и к монотонному изменению показаний весов.

Периодическая погрешность присуща измерительным приборам с круговой шкалой, если ось вращения указателя не совпадает с осью шкалы.

Все остальные виды систематических  погрешностей принято называть погрешностями, изменяющимися по сложному закону.

В тех случаях, когда при создании средств измерений, необходимых  для данной измерительной установки, не удается устранить влияние  систематических погрешностей, приходится специально организовывать измерительный  процесс и осуществлять математическую обработку результатов. Методы борьбы с систематическими погрешностями  заключаются в их обнаружении  и последующем исключении путем  полной или частичной компенсации. Основные трудности, часто непреодолимые, состоят именно в обнаружении  систематических погрешностей, поэтому  иногда приходится довольствоваться приближенным их анализом.

 

13. Способы обнаружения и устранения систематических погрешностей.

Способы обнаружения систематических  погрешностей

Результаты наблюдений, полученные при наличии систематических  погрешностей, будем называть неисправленными  и в отличие от исправленных снабжать штрихами их обозначения (например и т.д.). Вычисленные в этих условиях средние арифметические значения и отклонения от результатов наблюдений будем также называть неисправленными и ставить штрихи у символов этих величин. Таким образом,

. (3.16)

Поскольку неисправленные результаты наблюдений включают в себя систематические  погрешности, сумму которых для  каждого  -го наблюдения будем обозначать через , то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой величины и отличается от него на некоторую величину , называемую систематической погрешностью неисправленного среднего арифметического. Действительно,

 
.

Если систематические  погрешности постоянны, т.е. то неисправленные отклонения могут быть непосредственно использованы для оценки рассеивания ряда наблюдений. В противном случае необходимо предварительно исправить отдельные результаты измерений, введя в них так называемые поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные им по знаку:

.

Таким образом, для нахождения исправленного среднего арифметического  и оценки его рассеивания относительно истинного значения измеряемой величины необходимо обнаружить систематические  погрешности и исключить их путем  введения поправок или соответствующей  каждому конкретному случаю организации  самoгo измерения. Остановимся подробнее на некоторых способах обнаружения систематических погрешностей.

Постоянные систематические  погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов  наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных  знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств  измерений. Измеряемая величина при  поверке обычно воспроизводится  образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов  наблюдения и значением меры с  точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями  измерения, равна искомой систематической  погрешности.

Ценность полученных при  поверке результатов определяется их постоянством в течение некоторого промежутка времени и независимостью от тех изменений внешних условий, которые допустимы при эксплуатации средств измерений с заданной точностью. Тогда полученные при  поверке данные могут быть использованы для вычисления поправок, необходимых  для исправления результатов  наблюдений.

Одним из наиболее действенных  способов обнаружения систематических  погрешностей в ряде результатов  наблюдений является построение графика последовательности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических.

Вначале рассмотрим случай, когда в ряде результатов наблюдений предполагается наличие постоянной систематической погрешности. Для  того чтобы удостовериться в этом, исследователь, сделав несколько измерений, заменяет некоторые меры или измерительные  приборы, включенные в установку  и являющиеся предполагаемыми источниками  постоянных систематических погрешностей, другими мерами и измерительными приборами и проводит еще несколько  измерений.

Рассматриваемый способ обнаружения  постоянных систематических погрешностей можно сформулировать следующим  образом: если неисправленные отклонения результатов наблюдений резко изменяются при изменении условий наблюдений, то данные результаты содержат постоянную систематическую погрешность, зависящую от условий наблюдений.

При прогрессивной систематической  погрешности последовательность неисправленных отклонений результатов наблюдений обнаруживает тенденцию к возрастанию  или убыванию. На рис.3.3 изображена зависимость  погрешности измерения от длины  измеряемой детали.

 

Несмотря на большие случайные  изменения погрешности тенденция к увеличению ее в отрицательном направлении с ростом измеряемой величины явно обнаруживается. Если бы случайные погрешности были невелики, то значения неисправленных отклонений меняли бы свой знак при некотором среднем значении измеряемой величины. Случайные погрешности несколько искажают эту картину, однако, если они даже одного порядка малости с систематическими погрешностями, в последовательности знаков можно заметить некоторую неравномерность: неисправленные отклонения результатов одного знака чаще встречаются в отрицательной полуплоскости, чем в положительной.

Если же в ряде результатов  наблюдений присутствует периодическая  систематическая погрешность, то группы знаков плюс и минус в последовательности неисправленных отклонений результатов  наблюдений могут периодически сменять  друг друга, если, конечно, случайные  погрешности не особенно велики.

Обобщая два рассмотренных  случая, можно сказать: если последовательность знаков плюс сменяется последовательностью  знаков минус или наоборот, то данный ряд результатов наблюдений обнаруживает прогрессивную погрешность, если группы знаков плюс и минус чередуются - периодическую погрешность.

 

14) Описание случайных погрешностей  с помощью функции распределения

Когда при проведении с одинаковой тщательностью и  в одинаковых условиях повторных наблюдений одной и той же постоянной величины получаем результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. Каждая такая погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат наблюдения многих случайных возмущений и сама является случайной величиной

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма — закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере  измерений с многократными наблюдениями. Пусть произведено п последовательных наблюдений одной и той же величины х и получена группа наблюдений х_1? х₂, х₃,..., х„. Каждое из значений х,- содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от Xmin до Хmах и найдем размах ряда L = Хmах - Xmin. Разделив размах ряда на к равных интервалов Al = L/k, подсчитаем количество наблюдений п_к, попадающих в каждый интервал. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат — относительную частоту попаданий п_к/п . Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой  п_к /п, получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте. На рис. 2.4 показана полученная в од-

ном из опытов гистограмма, построенная на основании результатов 50 наблюдений, сгруппированных в табл. 2.1.

 

В данном опыте  в первый и последующие интервалы  попадает соответственно 0,1; 0,2; 0,36; 0,22 и 0,12 от общего количества наблюдений; при этом очевидно, что сумма этих чисел равна единице.

Если распределение  случайной величины х статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях наблюдений той же величины, в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый интервал будут близки к первоначальным. Это означает, что единожды построив гистограмму, при последующих сериях наблюдений можно с определенной долей уверенности заранее предсказать распределение результатов наблюдений по интервалам. Приняв общую площадь, ограниченную контуром гистограммы и осью абсцисс, за единицу, S₀ = 1, относительную частоту попаданий результатов наблюдений в тот или иной интервал можно определить как отношение площади соответствующего прямоугольника шириной А/ к общей площади.

При бесконечном  увеличении числа наблюдений п -> со и бесконечном   уменьшении ширины интервалов   Д/ -> 0, ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую

Дх) (рис. 2.5), называемую кривой плотности распределения вероятностей случайной величины, а уравнение, описывающее ее, — дифференциальным законом распределения. Кривая плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде -

 

Закон распределения  дает полную информацию о свойствах  случайной величины и позволяет ответить на поставленные вопросы о результате измерения и его случайной погрешности. Если известен дифференциальный закон распределения случайной величины f(x), то вероятность Р ее попадания в интервал от х_{ до х₂

Графически эта  вероятность выражается отношением площади, лежащей под кривой fix) в интервале от х_{ до х₂ к общей площади, ограниченной кривой распределения.

Кроме непрерывных  случайных величин в метрологической  практике встречаются и дискретные случайные величины. Пример распределения дискретной случайной величины приведен на рис. 2.6.

Для описания частных  свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. В качестве числовых характеристик выступают моменты случайных величин: начальные и центральные. Все они представляют собой некоторые средние значения; причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения — то центральными.

Начальный момент Ус-го порядка определяется формулами где Pi—вероятность появления дискретной величины.

Здесь и ниже первая формула относится к непрерывным, а вторая к дискретным случайным величинам. Из начальных моментов наибольший интерес представляет математическое ожидание случайной величины {к - 1), Центральные моменты к-ro порядка рассчитываются по формулам ...     Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии — средним квадратическим отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной величины.

 

 

15) Числовые параметры законов распределения.  Центр распределения вероятности.

Числовые  параметры законов распределения

Как отмечалось выше, функции  распределения являются самым универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей. Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений. В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа специальных параметров, основными из которых являются: 1) центр распределения; 2) начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты — математическое ожидание (МО), СКО, эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии; 3) энтропийный коэффициент.