Шпаргалка по "Геометрии"

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

    x®¥

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти  пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота. 

57. Предел и непрерывность  ф-ции нескольких  переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁,x₂...x_n), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰), M(x₁, x₂,... x_n)

Ф-ция f(M)=f(x₁, x₂,... x_n) имеет предел А при М₀®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M₀M|=d, то |f(M)-A|<e

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀, если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁⁰, x₂⁰,... x_n⁰)=limf(x₁, x₂,... x_n)

x₁⁰ ® x₁

x₂⁰ ® x₂

x_n⁰ ® x_n 

58. а) Частная производная  ф-ции нескольких  переменных. б) Частный  и полный дифференциалы.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀,y₀)

Dz=f(x₀+Dx, y₀+Dy)-f(x₀,y₀) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x₀+Dx, y)-f(x₀, y₀)

DyZ=f(y₀+Dy, x)-f(x₀, y₀)

Частная производная  ф-ция: 
б) dxZ=Z_x`*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Z<sub>y</sub>`*Dy=¶Z/¶y*dy

Полный дифференциал dZ=d_xZ+d_yZ=Z`<sub>x</sub>dx +Z`_ydy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти  полный дифференциал ф-ции надо найти  частные производные от этой ф-ции  по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить. 

59. Производная 2го  порядка ф-ции  нескольких переменных. Дифференцирование  сложной ф-ции  2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``<sub>XX</sub>=(Z`<sub>x</sub>)`<sub>x</sub> ; Z``_yy=(Z`<sub>y</sub>)`_y

Z``_Xy=(Z`<sub>x</sub>)`_y=(Z`<sub>y</sub>)`_x

 
 
 
 
 
 

60. Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y), M₀(x₀,y₀), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀,y₀), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная  производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁,x₂,...x_n), то ¶Z/¶x_i=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

где A= Z``<sub>XX</sub>(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>), C= Z``_yy(x₀,y₀), B= Z``_yx (x₀,y₀),

1) если D>0, то М₀ - точка экстремума;

    если  А<0 или С<0, то М₀ - точка max;

    если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым. 

61. Общая схема исследования  ф-ции необходима  для построения  графика.

Найти: 
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва  и интервалы, где ф-ция явл-ся  непрерывной

-поведение  ф-ции в окрестностях точки  разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения  графика с осями координат

-симметрия  графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы  монотонности

-точки экстремума

-наибольшее  и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение  ф-ции в безконечности, наклонная    и горизонтальные асимптоты

-нанесение  на график.