Шпаргалка по "Геометрии"

Сначала запишем  ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.

M₀(x₀,y₀)

M₀M{x-x₀,y-y₀}

n*M₀M=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

-Ax₀-By₀=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

18.19. Каноническое ур-е  прямой линии на  плоскости. Ур-е  прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.

y-y₁=k₁(x-x₁)

y=k₁x-k₁x₁+y₁

y₁-k₁x₁=b

y=k₁x+b

ур-е прямой с угловым коэффициентом k. 

Пусть даны 2 точки M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂) и x₁¹x₂, y₁¹y₂. Для составления уравнения прямой М₁М₂ запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М₁: y-y₁=k(x-x₁). Т.к. М₂лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М₂ в уравнение пучка М₁: y-y₁=k(x-x₁) и найдем k: 

Теперь вид  искомой прямой имеет вид:

или:

- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2  

20,21. Угол м/ду прямыми  на плоскости.  Условия || и^.

а)

                                     

S₁{l₁,m₁} S₂{l₂,m₂},

или

p:y=k₁x+b₁, k₁=tgj₁

q:y=k₂x+b₂, k₂=tgj₂ =>tgj=tg(j₂-j₁)=

=(tgj₂-tgj₁)/(1+ tgj₁tgj₂)=

=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂).

б) p||q, tgj=0, k₁=k₂

в)p^q,то  

22. Расстояние от  точки до прямой  на плоскости и  до плоскости в  пространстве.

1. Ax+By+C=0, M₀(x₀,y₀)

2. Пусть плоскость  задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

 
 
 
 
 
 

23. Кривые линии 2-го  порядка.

Кривые 2го порядка  описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1 

24. Парабола и ее  свойства.

Множество точек  плоскости, координаты которых по отношению  к системе декартовых координат  удовлетворяет уравнению y=ax², где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина  нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y²=2px-симметрично отн. оси ОХ

х²=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая  x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке  М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола  предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax². 

25.Эллипс  и его св-ва:

Кривая второго  порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx²+Cy²=d

ур.-е 

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где  При а=в представляет собой ур-е окружности х²+y²=а²

Точки F₁(-c,0) и F₂(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A₁,A₂,B₁,B₂ -вершины эллипса.

Св-во: 
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а. 

26. Гипербола и ее  св-ва.

Кривая 2го порядка  наз. гиперболой, если в ур-ии Ax²+Cy²=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x²/a²-y²/b²=1, F1(c,o) и F₂(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во: 
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x²/a²-y²/b²=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x²/a²-y²/b²=-1 - ур-е сопряженной гиперболы. 

27. Понятие о поверхностях 2го  порядка. 

Алгебраическим  ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax²+Bxy+Cy²+Dx+ey+F=0, где A,B,C,D,e,F - действительные числа

Линии, которые  в системе декартовых координат  определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка. 
 
 
 
 
 
 

28. Функции. Определение  способа задания.  Классификация функций.  Основные элементарные  функции.

Функция - это  зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический  (график)

-таблично 

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]

Если ф-ция  у зависит от промежуточного аргумента  U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х. 

29. Определение пределов  последовательности  и ф-ции. Осн.  св-ва пределов  ф-ции 1ой переменной.

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁,U₂,...U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а  называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n-a|<e

limx_n=a

n®¥

      -e<X_n-a<e

      a-e<X_n<a+e

б) Предел ф-ции: 
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e

Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e

Основные св-ва: 
1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если a-б.м.в., то lima=0

4. предела б.б.в.  не существует

5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в. 

30. Основные теоремы  о пределах.

1. Предел суммы  = суммы пределов: 
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в.

x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.

2. Теорема о пределе  производной: если сомножители  имеют пределы, то и произведение  имеет предел, равный произведению  пределов сомножителей.

limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва

x=a+a

y=b+b, где a и b - б.м.в.

x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то

                     ­сумма б.м.в. = d(дельта)

xy=ab+d

xy®ab,