Шпаргалка по "Геометрии"

1. Векторы. Действия  над векторами.

Вектором  наз. упорядоченная совокупность чисел  Х={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение  на число: произведение вектора  А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то А­­В, l<0, то А­¯В. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их  векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.  

2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости  называется совокупность фиксированной  точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки  в пространстве и 3х некомпланарных векторов. 

Любой вектор на плоскости  может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве. 

ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе 
 
 
 

 

4. Действия над векторами.

а=х₁i+y₁j+z₁k; b=х₂i+y₂j+z₂k

l*a=l(х₁i+y₁j+z₁k)= l(х₁)i+l (y₁)j+l(z1)k

a±b=(x₁±x₂)i+(y₁±y₂)j+(z₁±z₂)k

ab=x₁x₂ii+y₁x₂ij+x₂z₁ki+x₁y₂ij+y₁y₂jj+ z₁y₂kj+x₁z₁ik+y₁z₂jk+z₁z₂kk=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

ii=1; ij=0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа=x²+y²+z²=|a|² a{x,y,z}, aa=|a|*|a|, то a²=|a|²

ab=|a|*|b|*cosj

а)ав=0,<=>а^в, x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0

б)а||в - коллинеарны, если , x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂ 

5. Скалярное произведение  векторов и его  свойства.

-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а,в)- скалярное произведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности). 
 
 
 
 
 
 

6. Векторное произведение 2х  векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a и c^b. 3. тройка а,в,с-правая. 

7. Смешанное произведение  векторов и его  свойства.

Смешанным произведением  векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва: 
1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется  при перестановке циклических  сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич.  смысл) необходимым и достаточным  условием компланарности 3х векторов  явл. равенство a*b*c=0

  б)если  некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

 

8. Уравнение линии  и поверхности.

1. Уравнение  сферы. Сфера- геометрическое  место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром. 

O(a,b,c)

|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- уравнение сферы. x²+y²+z²=r²- ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности.

2. Уравнение  окружности

|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²- ур-е окружности

а=b=0, то x²+y²=r²

F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости. 

9. Плоскость в пространстве.

Ур-е в  плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному  вектору. 

N-вектор нормали

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀} 
 
 

Для того, чтобы  точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N^M₀M(т.е. N*M₀M=0)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. Общее уравнение  плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀-By₀-Сz₀=0

-Ax₀-By₀-Сz₀=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0 

11. Взаимное расположение плоскостей.

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^N₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть P^Q<=>N₁^N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N₁^N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей. 

12. Каноническое уравнение  прямой в пространстве.

M₀M{x-x₀,y-y₀,z-z₀} 
 
 
 
 

Чтобы точка  МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M₀M||S

 

13. Уравнение прямой  в пространстве, проходящей  ч/з 2 заданные  точки.

      l        m     n

S{x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

14. прямая, как пересечение  плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 
 
 

­Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы  перейти от общего к каноническому  ур-ю прямой, надо задать начальную  точку и направляющий вектор:

1. Найдем  начальную точку:

Z=0

M₀(x₀,y₀,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

P^N₁{A₁,B₁,C₁}

Q^N₁{A₂,B₂,C₂}

S=N₁*N₂ 

 

16. Взаимное расположение  прямой на плоскости. 

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0^N₁{A₁,B₁}

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0^N₂{A₂,B₂}

а)

то

б)

p­­q<=> N₁||N₂, то A₁/A₂=B₁/B₂

в)

p||q<=> N₁^N₂, то A₁A₂+B₁B₂=0 

17. Общее ур-е прямой  линии на плоскости.  Его частные случаи.