Шпаргалка по "Геометрии"

limxy=ab=limx*limy

3. Следствие: постоянная  величина выноситься за знак  предела.

limCx=limC*limx=C*limx

4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0

limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b

x=a+a, y=b+b

x/y=(a+a)/(b+b) 
 
 
 
 

31. 1й, 2й  замечательный пределы.

1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1. x®0

j

lim((Sina)/a)=1

x®0

S_DOAC<S_{сектораOAC}<S_DOCB

S_DOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

S_DOAC=1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)

S_DOCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga

1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2

sina<a<tga//:sin

1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1,

limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку

a®0       a®0                          существования

                                                  предела ф-ции 

                                lim((Sina)/a)=1

            a®0

2ой: lim(1+1/n)ⁿ=e»2.7183

        n®¥

Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и

                 x®¥                      a®0

lim(1+1/n)^1/a=e

a®0 

32. Основные приемы  нахождения пределов.

1. Подстановка: при  х®х₀ и х₀Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀)

x®x₀

2. Сокращение: при  х®¥ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую  степень х: при х®¥ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. сведение к известным  пределам: lim((Sinx)/x)=1

x®¥

lim(1+1/n)^x=e

x®¥

33. Непрерывность ф-ции  в точке и на  интервале.

x=x₀+Dx, Dx=x-x₀

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀)]=limf(x)-limf(x₀)=0, то

limf(x)=limf(x₀)

x®x₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она  непрерывна в каждой его точке. 

34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.

а) если все  значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A

j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а

б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна  сверху, то она имеет предел.

Последовательность  монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (x_n+1>x_n)

Последовательность  ограничена сверху, если существует такое  М, что x_n<=M. 

35. Бесконечно малые  величины и их  св-ва:

величина  называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®¥, то r®0)

Св-ва б.м.в.:

-сумма или  разность конечного числа б.м.в.  есть б.м.в. (a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.)

-произведение  б.м.в. на величину ограниченную  есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.)

-произведение  б.м.величин=б.м.в.

-произведение  б.м.в. на постоянную = б.м.в 
 

36. Бесконечно большие  величины и их  св-ва.

б.б.в - величина для которой |X_n|®¥ (при x_n=1/n, n®0, то x_n®¥)

Св-ва:

-величина  обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/¥=0; 1/0=¥)

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное  от деления 2х б.б.в = неопределенность 

38. Св-ва непрерывных  ф-ций:в 
в отрезке:

1. Если ф-ция  y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b)  найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.

3. Если ф-ция  y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке min m и max M (теорема Вейерштрасса).

в точке:

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х₀, то их сумма, произведение, частное (при j(х₀)¹0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х₀

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х₀, и f(x₀)>0, то существует окрестность х₀, в которой f(x)>0

3. если y=f(U) непрерывна в U₀, а U=j(x) непрерывна в U₀=j(x₀), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х₀. 

39. Задачи, приводящие  к понятию производной.  Определение производной  и ее геометрический  смысл.

1. n_cp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0

2. p_cp.=Dm/Dl, p_T=lim(Dm/Dl), где Dl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0          Dx®0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции  при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0          Dx®0

Вычисление  производной: lim(Dy/Dx)=y`  Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x², Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

         x®0                            Dx®0

Геометрический  смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим  предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический  смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.