Ряды и бесконечные произведения

определить, если заметить, что непременно

                                      ,                                             откуда вытекают следующие равенства:

                                        

    Из  первого уравнения получаем , из второго уравнения находим , из третьего, пользуясь найденными значениями, находим и т.д. Для того чтобы строго обосновать возможность выражения частного двух степенных рядов в виде третьего степенного ряда, требуется еще исследовать, сходится ли полученный формально степенной ряд и в каком промежутке он сходится. Это общее исследование мы опустим и только сообщим факт, что ряд действительно сходится, если только изменяется в достаточно малом интервале, в котором делитель не обращается в нуль, и как делимое, так и делитель являются сходящимися рядами. ( с. 477-478) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Глава 5. Бесконечные произведения действительных чисел.

                    5.1. Определение. Пример. Условие сходимости.

    Бесконечные ряды представляют собой только один (правда, особенно важный) из способов выражения величин или функций  с помощью бесконечных процессов. В качестве примера других процессов подобного рода рассмотрим здесь бесконечные произведения, не приводя доказательств.

    В пункте 3 главы 2 мы познакомились с  формулой Валлиса:

                                         ,                                         которая выражает число в виде «бесконечного произведения».

    Под бесконечным произведением

                                                                                        разумеют предел последовательности частичных произведений

                             , , , …,                                                    если этот предел существует.

    Множителями , , , … такого произведения могут, конечно, быть и функции от переменной .

    В теории чисел играет очень важную роль разложение в бесконечное произведение «дзета-функции». Придерживаясь обозначений, принятых в теории чисел, обозначим независимую переменную через и определим эту функцию при выражением

                                                .

    При ряд, стоящий в правой части, будет сходящимся. Если есть любое число, большее единицы, то путем разложения в геометрический ряд непосредственно получаем равенство

                                    

    Подставим в эту формулу вместо последовательно все простые числа

в порядке их возрастания и  полученные равенства перемножим между  собой; тогда в левой части  получим произведение вида

                                                

    Если  перемножим между собой ряды, стоящие  в правой части, не доказывая законности этого приема, и вспомним, что, по известной элементарной теореме, всякое целое число  можно представить одним и только одним способом в виде произведения степеней различных простых чисел, то увидим, что в правой части как раз и получается функция , и мы приходим к замечательному разложению в бесконечное произведение:

                              .

    Эта формула, вывод которой мы здесь  лишь вкратце наметили, действительно  представляет разложение функции  в бесконечное произведение, так как существует бесконечное множество простых чисел.

    В общей теории бесконечных произведений обычно исключают тот случай, когда  произведение с возрастанием стремится к нулю. В частности, стало быть, ни один из множителей не должен равняться нулю. В соответствии с этим для сходимости произведения необходимо, чтобы множители с возрастанием стремились к 1. Поэтому мы имеем право допустить (отбрасывая в случае надобности конечное число множителей, что в вопросе о сходимости значения не имеет), что . Тогда справедлива следующая теорема: необходимым и достаточным условием сходимости бесконечного произведения , где , является сходимость ряда .

    В самом деле, очевидно, что частичные  суммы  этого ряда стремятся к пределу в том и только в том случае, если частичные

произведения  имеют положительный предел.

    Обыкновенно при исследовании сходимости бесконечного произведения полагают и пользуются следующим достаточным признаком. Произведение

                                                                                                             сходится, если ряд

                                                                                                              сходится и ни один из множителей не равен нулю. Для доказательства мы имеем право, опуская в случае надобности конечное число членов, допустить, что все . Тогда . По теореме о среднем значении имеем

                            , где .                      Следовательно,

                              ,                                           и, стало быть, из сходимости ряда вытекает сходимость ряда .

    С помощью этого признака можно  также доказать сходимость бесконечного произведения   для дзета-функции. Действительно, легко видеть, что и что при и имеем . Заставим теперь пробегать последовательность

простых чисел; тогда ряд  должен сходиться, так как все его члены

положительны  и составляют только часть членов сходящегося ряда .

Тем самым доказана сходимость бесконечного произведения для дзета-функции. ( с. 486-489) 
 

           5.2. Основные теоремы для бесконечных  произведений.

1. Если сходится бесконечное произведение , то сходится также и каждое остаточное произведение . Если бесконечное произведение имеет сходящееся остаточное произведение , то сходится также и само бесконечное произведение . Это означает, что добавка или отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость бесконечного произведения.
2. Если бесконечное произведение сходится, то и . Начиная с некоторого , и для всех , все сходящегося бесконечного произведения больше нуля. На основании 1 и 2, таким образом, можно, поскольку рассматривается только характер сходимости, без ограничения общности, считать все положительными.
3. Для сходимости бесконечного произведения  с положительными сомножителями необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд . Если это условие выполнено, а есть сумма этого ряда, то , где . Часто целесообразнее подставить и записать произведение в виде . Тогда согласно 2 условие является

необходимым условием для сходимости произведения.

4. Если для всех справедливо (или ), то произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .
5. Если, в общем случае, существуют как положительные, так и отрицательные , то для сходимости бесконечного произведения достаточно, чтобы вместе с рядом сходился и ряд .
6. Бесконечное произведение расходится к 0 тогда и только тогда, когда для достаточно большого справедливо , в частности, когда существует (другое) такое, что для всех   , а ряд расходится или же ряд сходится, а ряд расходится.
7. Для произведений с не обязательно положительными справедливо следующее: бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда для любого действительного числа существует такое , что для всех и

                                                .

    Бесконечное произведение называется абсолютно сходящимся, если сходится произведение .

8. Если сходится, то произведение сходится, т.е. из абсолютной сходимости следует обычная сходимость бесконечного произведения.
9. Произведение сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходится абсолютно.
10. Порядок сомножителей у абсолютно сходящегося произведения может быть изменен произвольным образом, при этом не изменится ни характер сходимости, ни значение бесконечного произведения. ( с. 490-491)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                              Заключение.

    Изучена необходимая литература по теории числовых, функциональных и степенных рядов, которая составляет 5 источников. Рассмотрены основные понятия числовых и функциональных рядов, в частности степенных рядов и ряда Тейлора, доказаны важные теоремы, установлены правила сложения, вычитания, умножения и деления числовых и степенных рядов, решена задача интерполирования и найдены формулы приближенных вычислений иррациональных чисел и факториалов с помощью рядов, а именно формулы Стирлинга и Валлиса, даны основные понятия и основные теоремы о бесконечных произведениях для дальнейшего изучения.

    Изучение  рядов в действительной области  позволит в дальнейшем распространить теорию на ряды комплексной области.

    Курсовая  работа составляет 46 страниц. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                              Список литературы.

   Фихтенгольц, Г. М.  Основы математического анализа. Т.2 / Г. М. Фихтенгольц. – М., 2002.

   Курант, Р.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 / Р. Курант. – М., 1967.

   Бермант, А. Ф.  Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – М., 2005.

   Бохан, К. А.  Курс математического анализа. Т.2 / К. А. Бохан. – М., 1972.

   Бронштейн, И. Н.  Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М., 1980.