Ряды и бесконечные произведения

                                                             примем за пределы интегрирования и ; тогда получим

                              при .

    Применяем теперь эту же рекуррентную формулу  к интегралу в правой части  и продолжаем этот процесс далее; тогда получаем, рассматривая отдельно случаи и ,

                          ,

                       ;

следовательно,

                           ,

                              .

Отсюда делением получим

                   .

Но отношение интегралов в правой части с возрастанием стремится к 1,

что вытекает из следующего рассуждения. В интервале  имеем

                            ;                             следовательно,

                       .

    Разделив  каждый член этих неравенств на и заметив, что на основании доказанной в начале пункта формулы

                                     ,

находим

                                       ,

а отсюда вытекает наше утверждение.

    Вследствие  этого получается соотношение

                            .

    Это выражение  с помощью произведения, которым мы обязаны Валлису, благодаря наглядности закона образования представляет весьма замечательную связь между числом и целыми числами. Этому соотношению можно придать и различные другие формы. Заметив, что , можем написать

                                  ;

извлекаем квадратный корень, а затем умножаем числитель  и знаменатель на

:

    

     

                                                                        .

    Отсюда, наконец, получаем

                                           .

    ( с.263-265) 
 
 

                                    2.4. Формула Стирлинга.

    В очень многих приложениях, особенно в статистике и теории вероятностей, встречается необходимость в приближенном представлении выражения с помощью элементарной функции от . Такое выражение дает формула Стирлинга.

    При

                                                  

или, точнее,

                                .

    Другими словами, так как  стремится к единице при , то выражение дает приближенное значение с малой относительной погрешностью, тем меньшей, чем больше . Это принято выражать следующей фразой: асимптотически равно . Вместе с тем множитель дает оценку степени точности приближения.

    На  эту формулу наводит вычисление площади  криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью абсцисс и ординатами и (рис.1). интегрированием получаем точное значение этой площади:

                               .                                         Если же вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций, проведя ординаты , , …, , то получим приближенное значение этой площади:

                           .

    Естественно предположить, что и имеют одинаковый порядок

роста, откуда будет  вытекать, что  и выражение являются

величинами одного и того же порядка, а стало быть, того же порядка, что , а это и есть существенное утверждение формулы Стирлинга. 
 
 
 
 
 

    Для того чтобы это наводящее рассуждение  превратить в точное доказательство, мы сначала покажем, что разность ограничена, откуда и будут немедленно вытекать, что того же порядка, что и .

    Разность  есть площадь фигуры между кривой и ее хордой в полосе . Так как кривая обращена вогнутостью к оси абсцисс и лежит выше хорды, то и и монотонно возрастает. С другой стороны, разность , очевидно, меньше, чем (ср. рис.2) разность площади трапеции, ограниченной сверху касательной в точке , и площади трапеции, ограниченной сверху хордой; отсюда получаем неравенство

     

                                         .

    Следовательно, подавно

                               .                              (15)                          Подставим сюда последовательно и сложим почленно полученные неравенств. Тогда в левой части останется , а в правой части сократятся все члены, кроме первого и последнего, и мы получим:

                                      ,

а так как  , то

                                              .

    Следовательно, переменная ограничена, а так как она монотонно возрастает, то непременно стремится к некоторому пределу , когда : .

    В неравенство (15) подставим последовательно и сложим полученные неравенств; тогда получим

                            .                                    Оставляя неизменным, перейдем в этом неравенстве к пределу при ; так как , то предельное неравенство будет

                                          .

    По  определению  ; поэтому

                                       ,                                                 откуда

                                       ,                                                    где . Последовательность монотонно убывает и стремится к пределу ; стало быть,

                                                                              и

                                              .                                                   Следовательно,

                                      .

    Остается  вычислить предел , существование которого доказано выше. Для этого воспользуемся формулой, доказанной в пункте 2.3.:

                                                ,                                               являющейся следствием формулы Валлиса.

    Заменяя в ней  через и через , немедленно получим

                                     ,                                           откуда . Тем самым формула Стирлинга полностью доказана.

    Помимо  ее большого теоретического значения, формула Стирлинга очень полезна для приближенного вычисления при больших значениях . Вместо того, чтобы перемножать много целых чисел, можно просто вычислить выражение Стирлинга с помощью таблицы логарифмов; число операций будет намного меньше. Так например, при , пользуясь семизначными таблицами логарифмов, находим по формуле Стирлинга , между тем как точное значение . Относительная ошибка составляет лишь 5/6%. ( с. 422-425) 
 
 
 

                                  Глава 3. Интерполирование.

                3.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

    Начнем  с решения следующей задачи: требуется определить многочлен, т.е. целую рациональную функцию степени не выше , который в данных различных точках принимает соответственно заданные значения , т.е.

                                 , , …, .

    Если  числа  даны как значения , принимаемые какой-то заданной функцией в точках , то многочлен или называется интерполяционным многочленом -й степени этой функции для точек .

    Прежде  всего заметим, что такой многочлен  -й степени может существовать, самое большее, только один. Действительно, если и - два многочлена такого рода, то их разность является многочленом степени или ниже, который обращается в нуль в различных точках ; следовательно, по известной теореме алгебры имеем

                                    .                                               Но так как и , т.е.

                                    ,                                                 то отсюда следует (ввиду того, что по условию все значения различны между собой), что постоянная , и, следовательно, многочлен тождественно равен нулю. Тем самым доказана однозначность интерполирующего многочлена. ( с. 394) 
 

         3.2. Построение решения. Интерполяционная формула Ньютона.

    Переходим теперь к построению интерполяционного  многочлена -й

степени , удовлетворяющего следующим требованиям: ,

, …,  . Чтобы постепенно, шаг за шагом построить этот многочлен, будем исходить из постоянной , многочлена «нулевой степени», который всюду, а значит и при , имеет значение . К нему прибавляем многочлен первой степени, который обращается в нуль при , т.е. многочлен вида , и определяем так, чтобы сумма при имела требуемое значение . Получающийся в результате многочлен первой степени назовем . Затем мы к прибавляем многочлен второй степени, который обращается в нуль при и , т.е. имеет вид . Прибавление этого многочлена  не изменяет, следовательно, значений в этих точках. Определяем множитель таким образом, чтобы полученный многочлен второй степени имел при требуемое значение , и т.д. Соответственно этому интерполяционный многочлен запишется так:

              ,                и поэтому

                                                 ,                                                     где - остаточный член, который во всяком случае обращается в нуль в точках .

    Подставляя  в выражение для поочередно значения , , …, , получим систему уравнений

    

из которых  можно последовательно определить коэффициенты .

Тем самым интерполяционный многочлен в принципе построен.

    Если  значения лежат на равных расстояниях друг от друга, так что при , то полученный результат можно представить в виде явного и изящного по форме выражения. Уравнения для определения коэффициентов запишутся в этом случае так:

    

    Введем  понятия разностей различного порядка  функции  . Разностью или первой разностью какой-либо функции называется выражение

                                   .                                      Если вычислим разность первой разности , то получим вторую разность, или разность второго порядка, функции :

             .        Продолжая далее этот процесс образования разностей, с помощью метода полной индукции получим -ю разность, или разность -го порядка:

                      ,                                    где - биномиальные коэффициенты. Теперь легко из системы уравнений для выразить эти коэффициенты через последовательные разности функции :