Ряды и бесконечные произведения

               Глава 1.Числовые, функциональные, степенные ряды.

                                        1.1. Основные понятия.

    Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

                                                    а₁, а₂, а₃, …, а_n, …                                          (1)                              

    Составленный  из этих чисел символ                                               

                                                     а₁+ а₂+ а₃+ …+ а_n+ …                                 (2)             называется бесконечным рядом (или просто рядом), а сами числа (1) – членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

                                                    ,                                                             (2а)                                                        указатель n пробегает здесь все значения от 1 до . Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с единицы, а с нуля или же какого-либо натурального числа, большего единицы

    Станем  последовательно складывать члены  ряда, составляя суммы:

                     = , А₂=а₁+а₂, А₃=а₁+а₂+а₃, …, А_п=а₁ +а₂+а₃+…+а_п.        (3)                            Их называют частичными суммами или отрезками ряда.

    Конечный  или бесконечный предел А частичной суммы А_п ряда (2) при п :

                                                      А= _n,

называют суммой ряда и пишут А=а₁ +а₂+а₃+…+а_п+…= , придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т.е. если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) – расходящимся.

    Таким образом, вопрос о сходимости ряда (2) по определению равносилен вопросу  о существовании конечного предела для последовательности (3). ([1] с. 11-12)

    Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются функции

                                         , …, , … ,                              (4)                                     

от одной и  той же переменной , определенные в некоторой области ее

изменения = . Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также представляет собой функцию от х в Х:

                                                        ,                                          (5)                                            которую будем называть предельной функцией для последовательности (4) или для функции . ( с. 64)

    Сумму бесконечного ряда функций можно  рассматривать как предел последовательности функций (4). ( с. 446)

    Среди рядов функций наиболее важное значение имеют степенные ряды. Под степенным рядом разумеют ряд вида

                                        Р(х)=с₀+с₁х+с₂х²+…=                                                               («степенной ряд относительно х») или ряд более общего вида (степенной ряд относительно      х-х₀):

                       ,                                     где х₀ – постоянное число. Если в последнем ряде ввести в качестве новой независимой переменной х-х₀=t, то ряд перейдет в степенной ряд

                                              

относительно переменной t; поэтому можно, не нарушая общности, ограничиться рассмотрением степенных рядов более частного вида

                                             .  

( с.459)

    Попытаемся  прежде всего выяснить строение “области сходимости” степенного ряда, т.е. множества Х= тех значений переменных, для которых ряд

                                                     (6)  

сходится.

    Путь  к этому открывает следующая  лемма: Если ряд (6) сходится для значения , отличного от нуля, то он абсолютно сходится для любого значения х, удовлетворяющего неравенству .

    Из  сходимости ряда

                                 вытекает, что его общий член  стремится к нулю, а следовательно  ограничен:

                                        , .

    Возьмём теперь любое , для которого , и составим ряд

                                                (7)                          

Так как  , следовательно , и члены ряда (7) оказываются меньшими соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем ):

                             ,                                        то по теореме сравнения ряд (7) сходится. В таком случае ряд (6) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

    При сходится, очевидно, всякий ряд (6). Но есть степенные ряды, которые помимо этого не сходятся ни при одном значении . Примером такого “всюду расходящегося” ряда может служить ряд . Подобные ряды для нас не представляют интереса.

    Предположим же, что для ряда (6) среди значений переменной, при

которых он сходится, есть и отличные от нуля. Рассмотрим множество ;

оно либо ограничено сверху, либо нет.

    В последнем случае, какое бы значение ни взять, необходимо найдется такое , что , а тогда по лемме при взятом значении ряд абсолютно сходится. Ряд оказывается “всюду сходящимся”.

    Пусть теперь множество  сверху ограничено, и будет его точная верхняя граница (так что ). Если , то это значение заведомо разнится от всех , и ряд расходится. Возьмем теперь любое , для которого . По определению точной границы необходимо найдется такое , что ;  а это по лемме снова влечет за собой абсолютную сходимость ряда (6).

    Таким образом, доказана общая теорема:

    Для каждого степенного ряда (6), если только он не является всюду расходящимся, существует такое положительное число (оно может быть и ), что:

    - ряд  абсолютно сходится для  ;

    - ряд  расходится для  (если ).

    Это число  называется радиусом сходимости ряда.

    Тем самым разрешен вопрос об “области сходимости” ряда: она представляет собою сплошной промежуток от до ; лишь о концах его нельзя сделать общего утверждения. Промежуток называется промежутком сходимости ряда.

    Для всюду расходящегося ряда принимают  : его “промежуток сходимости” сводится к точке .

    Примеры: 1) Для ряда , , промежуток сходимости .

    2) Ряд  имеет , промежуток сходимости : оба конца включаются, но сходимость там неабсолютная.

    3) Для ряда  , , промежуток сходимости : левый конец не включается, а на правом – ряд сходится неабсолютно. ( с. 82-83)

                    

               1.2. Почленное дифференцирование степенного ряда.

    Степенной ряд (6) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так  что для суммы ряда существует производная и выражается так:

                                                         (8)                                    

    Продолжая дифференцирование, последовательно  получим 

                                                                      

    И таким образом дальше. ( с. 665)

    Чтобы доказать правильность этого утверждения, достаточно только показать, что степенной  ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно, коль скоро  ограничен интервалом, который целиком лежит внутри промежутка сходимости. Выберем какое-либо положительное число , так что ряд сходится (число может лежать как угодно близко к ). Тогда все числа будут меньше некоторого числа , не зависящего от , так что .

    Пусть теперь - любое число, удовлетворяющее условию . Если мы ограничим интервалом , то члены ряда, полученного дифференцированием по абсолютной величине меньше членов ряда

 и, следовательно, меньше членов ряда . Но в этом ряде отношение -го члена к -у равно . Оно стремится с возрастанием к пределу . Так как , то по признаку сходимости этот ряд с положительными и не зависящими от членами сходится. Следовательно, степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно и представляет поэтому производную от функции ; тем

самым наше утверждение  доказано.

    Таким образом, мы приходим к следующей общей теореме: всякая функция, выражаемая с помощью степенного ряда, имеет внутри промежутка сходимости производные любого порядка, и эти производные можно получить почленным дифференцированием данного ряда.

    В качестве явного выражения  -й производной получаем

                               .

    ( с. 462-463)

    Мы  рассмотрели дифференцирование  степенных рядов. Теперь можно показать ряд Тейлора. 
 

                          1.3. Степенной ряд как ряд Тейлора.

    Последняя теорема открывает возможность  последовательного многократного  дифференцирования степенного ряда. Таким образом, обозначая через функцию, представляемую степенным рядом (6) в его промежутке сходимости, будем иметь повсюду внутри этого промежутка

                        

                          

    Если  положить во всех этих равенствах , то придем к выражениям

коэффициентов степенного ряда

         , , , , …, , …

( с. 90)

    Таким образом, действительно проверено, что коэффициенты разложения (6) определяются единственным образом формулами  

                                              .                                                

    Если  дана функция  , имеющая в некотором промежутке производные любого порядка, то можно вычислить коэффициенты для любого .

    Степенной ряд с коэффициентами , вычисленными по некоторой функции , называется рядом Тейлора этой функции .

    Таким образом, для всякой бесконечно дифференцируемой в  функции можно составить ее ряд Тейлора:

                                                      (9)                        

( с.248)

    Если  положить , то

                                               

- ряд Маклорена.

    Перейдем  к выяснению условий, при которых  можно утверждать, что ряд Тейлора  для функции  действительно сходится на интервале, и что его сумма совпадает с функцией .

    Теорема 1: Всякий сходящийся степенной ряд  есть ряд Тейлора своей суммы.

    Ряд (9) сходится, как всякий степенной  ряд, по степеням в точке , но остается открытым вопрос: сходится ли ряд где-нибудь, кроме точки ? Возникает также и второй вопрос, если ряд (9) сходится, например, в каком-либо промежутке, то какая функция является суммой этого ряда? Та функция , с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда (9), или какая-либо другая функция?