Ряды и бесконечные произведения

    Так как поведение ряда (сходимость или  расходимость) зависит от коэффициентов  ряда, а коэффициенты ряда Тейлора  определяются функцией , то, очевидно, вопрос о сходимости ряда Тейлора надо изучать с помощью свойств самой функции .

    В дифференциальном исчислении выводится  формула Тейлора

                    ,                     (10)                     где , а заключено между и . (Взят частный случай формулы Тейлора при .)

    Коэффициенты  многочлена в формуле Тейлора  строятся по тому же правилу, что и  коэффициенты ряда Тейлора  , но в формуле Тейлора конечное число членов (это конечная сумма, а не ряд) и последний член (дополнительный член формулы Тейлора) резко отличается от всех предыдущих членов: в нем два переменных множителя и

( зависит от ), а не один, как в остальных слагаемых. В ряде Тейлора все слагаемые однотипны, но их бесконечное множество. Формула Тейлора получена для любой функции, имеющей производную. Тем более она верна при любом для бесконечно дифференцируемых функций. С помощью формулы Тейлора и можно ответить на поставленные выше два вопроса.

    Теорема 2: Для того, чтобы ряд Тейлора, составленный для функции , сходился в и имел своей суммой , необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член формулы Тейлора для стремился к нулю в при .

    Доказательство: Сопоставление выражений для ряда Тейлора (9) и формулы Тейлора (10) показывает, что многочлен, стоящий перед дополнительным членом в формуле Тейлора, является частичной суммой ряда Тейлора. Поэтому формулу Тейлора можно записать следующим образом:

                                          ,                                               (11)                                               где есть -я частичная сумма ряда Тейлора.

    Необходимость: Пусть известно, что в  ряд (9) сходится и сумма его равна . Тогда по определению сходимости ряда в имеем:

                                                                                                          для всех из , и так как по (11)

                                           ,                                              (12)                                                 то при для всех из .

    Достаточность: Пусть известно, что  при в . Тогда из (12) следует, что при , то есть что при в .  Это и означает, что ряд (9) сходится и его сумма равна в .

    Теорема 3: Если функция  бесконечно дифференцируема в и все производные в ограничены одним числом

                                             , ,                                        (13)                                          то ряд Тейлора функции сходится в к .

    Доказательство: Оценим в , используя (13):

                                              .

    В правой части неравенства стоит  общий член сходящегося ряда при  любом  . По необходимому признаку сходимости ряда (если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при ) этот общий член стремится к нулю при и, следовательно, при и при любом из . Таким образом, выполнено условие теоремы 2 и утверждение данной теоремы тем самым доказано. ( с. 248-249) 
 

                  1.4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.

    Разложение  заданной функции  в ряд Тейлора в окрестности точки распадается на два этапа:

1. Сначала мы вычисляем значения функции и ее производных в точке и составляем ряд Тейлора для функции . При этом предполагается, что функция бесконечное число раз дифференцируема.
2. Находим интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к функции , т.е. устанавливаем, для каких значений остаточный член ряда будет стремиться к нулю при . ( с. 673)

    Перейдем  теперь к разложению в ряды элементарных функций:

    1) Показательная функция .

    Разложим  в ряд Маклорена функцию  .

    Все производные от функции  тоже равны и в точке обращаются в единицу. По формуле Тейлора

                                   .

    Рассмотрим  интервал , где - любое фиксированное число. Для всех значений из этого интервала . Следовательно, все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом и по теореме . По предположению - любое число, следовательно, функция разлагается в ряд Маклорена при всех значениях , то есть на всей оси . Итак,

                                     .

    При любом  сумма этого ряда равна .

    В частности, при  находим ряд для числа :

                                  

     2) Тригонометрические функции и .

    Разложим  в ряд Маклорена функцию . Для этого находим последовательно значения ее производных в точке : , , , ,   , и так далее. Мы видим, что значения производных повторяются и образуют периодическую последовательность .

    Любая производная функции  (т.е. или ) по абсолютной величине не превосходит единицы. Следовательно, ряд Маклорена для функции сходится к ней на всей числовой оси. Итак,

                               .

    Совершенно  аналогично получим разложение (оно также справедливо на всей оси ):

                                .

    Любопытно заметить, что нечетная функция  раскладывается в ряд только по нечетным степеням , а четная функция - только по четным.

    ( с. 674-675)

    3) Обратная тригонометрическая  функция .

    Разложим  в ряд Тейлора функцию  . Производную этой функции при , , можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

                                                                     (14)                                       

    Интегрируя (14) в пределах от 0 до , где , получим:

    Итак, при  имеем:

                                  .

( с. 260-261) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Глава 2. Применение рядов  для вычисления иррациональных чисел               

                                        и факториалов. 

                        2.1. Ряды и приближенные вычисления. 

    На  примере конкретных разложений мы разъясним, как бесконечные ряды могут быть использованы для целей приближенных вычислений.

    Предпошлем  ряд общих замечаний.

    Если  число  разложено в ряд: , где - удобные (рациональные) числа, и мы положим приближенно , то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком .

    При достаточно большом  эта погрешность станет сколь угодно малой, так что воспроизведет с любой наперед заданной точностью.

    Мы  заинтересованы в возможности просто производить оценку остатка  ; это позволило бы нам и вовремя остановиться при вычислении последовательных частичных сумм, когда уже будет получено приближение требуемой точности.

    Если  рассматриваемый ряд оказывается  знакопеременным и притом с монотонно  убывающими по абсолютной величине членами, то остаток имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его. Эта оценка в смысле простоты не оставляет желать лучшего.

    Несколько сложнее обстоит дело в случае положительного ряда. Тогда обыкновенно  стараются найти положительный же ряд с большими членами, который бы легко суммировался: , , и в качестве оценки для остатка берут величину остатка этого нового ряда: .

    Например, для ряда можно получить

                          ,

    а для ряда можно получить

                      .

    Обыкновенно ищется десятичное приближение числа  , в то время как члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь округление служит источником новой погрешности, которую также следует учесть.

    Наконец, отметим, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число , пригоден для фактического вычисления этого числа (даже если его члены просты и оценка остатка производится легко). Вопрос – в быстроте сходимости, т.е. в быстроте приближения частичной суммы к числу .

    Возьмем для примера ряды и , дающие соответственно разложение чисел и . Они сходятся очень медленно, и для того, чтобы с их помощью найти приближенные значения этих чисел с высокой точностью, нужно было бы сложить огромное количество членов. Ниже мы без особого труда найдем десятичные приближения упомянутых чисел с большой точностью, использовав более подходящие ряды. 
 

                                     2.2. Вычисление числа .

    Воспользуемся рядом для арктангенса:

                            .

    Если  взять  , то , и мы получим ряд

                               ,                                             уже пригодный для вычисления.

    Существуют, однако, ряды, гораздо более удобные  для вычисления числа  . Положим , тогда

                      ,  ,  .

    Ввиду близости этого числа к единице ясно, что угол близок к ; положив , будем иметь

                        , так что .

    Отсюда  получается такая формула:

              .

    Вычислим  по ней число  с семью знаками после запятой. Для этого достаточно тех членов формулы, которые фактически выписаны. Так как оба ряда – типа Лейбница, то поправки в уменьшаемом и вычитаемом на отбрасывание невыписанных членов соответственно будут

                            и .

Сохраненные члены обратим в десятичные дроби, округляя их (по правилу дополнения) на восьмом знаке. Вычисления сведены в таблицу (+ или – в скобках указывает знак поправки):

                                    

    +                                          + 

                                                

                                                                     

                       

                

    

    Учитывая  все поправки, имеем

             ,

           ,

    так что  .

    Итак, окончательно, , причем все выписанные знаки верны.

    ( с.58-61) 
 

                                       2.3. Формула Валлиса.

    Рекуррентная  формула для  приводит элементарным путем к замечательному выражению числа в виде бесконечного произведения. Полагаем и в формуле