Ряды и бесконечные произведения

                                   ,  ,    .

    Произведения  вида , входящие в выражение интерполяционного многочлена, мы преобразуем с помощью обозначения , так что и ; отсюда

                          .                                           

В результате получаем для многочлена интерполяционную формулу Ньютона:

                    .                                      

Если  имеет непрерывные производные до -го порядка, то

                                   .                                                Поэтому интерполяционный многочлен переходит в многочлен Тейлора, когда стремится к нулю.

    Заметим, что если первые значений совпадают и, в соответствии с этим, заданы значения функции и ее производных: , , …, , , …, , то интерполяционный многочлен можно построить тем же путем. Для пишем выражение следующего вида:

            ,            и коэффициенты определяются из нижеследующей системы уравнений:

               

( с. 395-397) 
 

                             3.3. Оценка остаточного члена.

    До  сих пор для наших рассуждений  было, по существу, безразлично, каким  путём даны значения . Если, например, эти значения

получены в  результате физических измерений, то с  построением многочлена

 интерполяционная задача  полностью решена; в многочлене  мы

нашли возможно более простую функцию, которая в заданных точках принимает заданные значения. Если же функция заранее дана, то возникает новая задача, а именно задача об оценке разности , т.е. погрешности, допущенной при интерполяции. Покамест мы знаем только то, что значений равны все нулю. Для того чтобы появилась возможность добыть дополнительные сведения об , необходимо сделать некоторые допущения по поводу функции , а стало быть, и . Мы предположим, что имеет в рассматриваемом промежутке непрерывные производные по крайней мере до -го порядка.

    Прежде  всего заметим, что функция

                                                              обращается в нуль при значениях при любом выборе постоянной . А теперь прибегнем к следующему искусственному приему: выберем произвольное число , отличное от , и затем подберем так, чтобы было и ; для этой цели должно быть

                                ,                                                      и при таком значении функция имеет, стало быть, корней.

    Применим  теперь к функции  обобщенную теорему Ролля. По этой теореме, существует такое, не поддающееся дальнейшему уточнению, промежуточное значение   между наибольшим и наименьшим из чисел и , что . Так как

, а  , как многочлен степени , имеет -ю производную, равную тождественно нулю, то

                                  ,                                               ибо -я производная от равна !. Отсюда получаем второе выражение для :

                                             .                                                               Оно содержит промежуточное значение , которое каким-то образом зависит от . Это значение мы подставим в равенство и из него получим

                               .                           

Вспомним, что  - совершенно произвольное число, которое можно поэтому заменить буквой , и для остаточного члена получится оценка

                          ,                                   где - какое-то промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел и .

    Тем самым полностью решена общая  задача интерполяции заданной функции. Внимательное рассмотрение наших формул и только что полученной оценки для  остаточного члена показывает, что  если равноудаленные точки  , сближаясь, стремятся к совпадению в точке , то интерполяционная формула Ньютона переходит почленно в формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Таким образом, формула Тейлора является предельным случаем интерполяционной формулы Ньютона.

    Благодаря этой связи между интерполяционной формулой и формулой Тейлора приобретает  новый смысл принятый в геометрии  термин «соприкасающаяся парабола», а  именно: соприкасающаяся парабола, имеющая с данной кривой в некоторой  ее точке касание -го порядка, имеет с этой кривой в указанной точке общих «совпадающих» точек пересечения. В самом деле, эта соприкасающаяся парабола получится, если провести сначала параболу через различных точек кривой и затем все эти точки сближать до совпадения с данной точкой. Совершенно подобное происходит при соприкосновении данной кривой с кривой, принадлежащей любому семейству линий (не только семейству парабол). Например,

окружность кривизны есть та из окружностей, проходящих через данную точку кривой, у которой в этой точке сливаются три ее точки пересечения с данной кривой.

    Интерполяционную  формулу применяют всегда в том  случае, если

функцию, значения которой в определенных точках известны, требуется

выразить для  промежуточной области между  этими точками с примерно одинаковым приближением. Если функцию хотят  выразить в точке  , лежащей вне промежуточной области между точками , то говорят об экстраполяции. При такой экстраполяции тем менее можно рассчитывать на хорошее приближение, чем более удалена точка от промежуточной области. В формуле Тейлора мы имеем дело, некоторым образом, с полной экстраполяцией, и поэтому формула Тейлора часто практически пригодна для представления функции только в непосредственной окрестности данной точки. ( с. 397-399) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                       
 
 

                          Глава 4. Действия над рядами.

                     4.1. Действия над степенными рядами.

    Со  степенными рядами можно оперировать  так же, как с целыми рациональными  функциями. Само собой понятно, что  сложение и вычитание степенных рядов производится путем сложения и вычитания соответствующих коэффициентов. Подобным же образом очевидно, что умножение степенного ряда на постоянный множитель производится, как и у всякого сходящегося ряда, путем умножения каждого члена в отдельности на этот множитель. Умножение и деление двух степенных рядов требуют уже несколько более детального рассмотрения, которое дается в пункте 3 этой главы. Здесь я только отмечу без доказательства, что два степенных ряда

                                и                                    перемножают, как целые рациональные функции. Точнее это правило выражается следующей теоремой:

    Произведение  двух написанных выше степенных рядов  выражается в общей части интервалов сходимости обоих рядов в виде нового степенного ряда

                                                    ,                                                          коэффициенты которого даются формулами:

                                                                              (доказательство дано в пункте 3 этой главы). ( с. 463-464) 
 
 
 

                           4.2. Умножение и деление рядов.

    Пусть даны два абсолютно сходящихся ряда:

                                       и   .

    Положим

                          .                                      Мы утверждаем, что ряд

                                            абсолютно сходится и сумма его равна .

    (Каждое  выражение, заключенное в скобки, рассматривается как один член.)

    Одновременно  с данными рядами рассмотрим соответствующие  им ряды из абсолютных величин их членов:

                                    и       .                                              Введем обозначения для частичных сумм всех четырех рядов:

                   ,  ,  ,  .

    Для доказательства теоремы рассмотрим ряд, который получается из ряда , если опустить в нем все скобки:

                ,                                 (16) и ряд, составленный из абсолютных величин этого последнего ряда:

                                   (17) Членами ряда (16) являются произведения каждого из членов ряда на каждый член ряда . Эти произведения расположены в таком порядке: на первом месте стоит , затем произведения, в которых сумма индексов сомножителей равна 1, далее все произведения, для которых , затем с

суммой 3 и т.д. Все произведения с данной суммой индексов, скажем :

                          ,                                        расставлены в порядке возрастания индексов при .

    Для наглядности выпишем в развернутом  виде произведение частичных сумм и обоих данных рядов:

                                                                              Группы членов ряда с суммой индексов расположены по прямым, параллельным диагонали квадрата этой таблицы. Аналогичную формулу-таблицу можно написать для произведения ряда абсолютных величин (17).

    Возьмем теперь частичную сумму  ряда абсолютных величин (17), и пусть последний член этой суммы (член с номером ) находится в группе членов с суммой индексов . Из формулы-таблицы (точнее, из соответствующей таблицы для абсолютных величин) ясно, что

                                           ,                                                          и, стало быть, частичные суммы ряда (17) абсолютных величин ограничены; следовательно, ряд (17) сходится и ряд (16) сходится абсолютно.

    Для того чтобы найти сумму ряда (16), воспользуемся тем, что его члены  можно расположить в любом  порядке и какие угодно группы членов можно заключить в скобки. Расположим члены ряда (16) не по диагоналям написанной выше таблицы, а следующим образом: оставим на первом месте член ; в качестве второго члена напишем сумму , что вместе с дает частичную сумму ; в качестве третьего члена напишем , что в сумме с первыми

двумя членами  дает ; затем объединим 7 членов вида в один (четвертый) член, что в сумме с предыдущими дает , и т.д. Весь ряд примет следующий вид:

                ;                        его частичные суммы образуют последовательность

                                     ,                                              предел которой и есть сумма как преобразованного ряда, так и ряда (16).

    Ряд получается из абсолютно сходящегося ряда (16) заключением в скобки групп соседних членов, стало быть, он тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму . Наше утверждение доказано. 
 

                4.3. Умножение и деление степенных рядов.

    Главное применение эта теорема находит  в теории степенных рядов. Из нее  непосредственно следует, что произведение двух степенных рядов

                                            и                                                   выражается в общей части интервала сходимости этих рядов в виде степенного ряда , коэффициенты которого даются формулой

                                .                                                    Что касается деления степенных рядов, то частное двух данных выше рядов также можно представить в виде степенного ряда , если только постоянный член делителя не равен нулю. (в противном случае такое выражение, вообще говоря, невозможно, потому что при , благодаря обращению делителя в нуль, ряд не мог бы сходиться; между тем, с другой стороны, всякий ряд, расположенный по степеням , должен сходиться при .) Коэффициенты степенного ряда можно последовательно