Различные способы аналитического определения тригонометрических функций

 

Следовательно,

Функция z(x) также удовлетворяет уравнению ()

 

и начальным  условиям

 

а потому

 

Итак, в силу системы , имеем

 

Умножив первое уравнение на у, а второе на z и сложив, получим:

 

откуда

 

Положив (в  частности) получим:

 

но при х = 0 значение левой части равно   1. Следовательно, имеет место тождество:

 

 

Следствие 1.   Функции С (х) и S(х) ограничены. Пусть — произвольное действительное число; функция:

 

(при данном ) удовлетворяет уравнению (). В самом деле,

 

 

а потому

 

Следовательно,   функция  f(х)   при некоторых   значениях содержится в общем решении (у) уравнения ():

   (2)

Продифференцируем последнее равенство

   (3)

и положив  в двух последних равенствах x= ,получим:

 

 

 

Принимаем во внимание,получим =

 

Равенство (2) примет следующий вид:

 

Последнее равенство- тождество , так как x и .

Следствие 2.   Для    функций    С (х) и S (х) удовлетворяется

условие  II,   которым обладают  аналитические косинус и синус.

Теорема. Существуют положительные значения аргумента х, при которых функция С(х) обращается в нуль.

Доказательство. Предположим противное, что С (х) =0 при произвольном значении х>0. Тогда С (х )>0 в интервале (). В самом деле, если бы существовало значение х_ь при котором С (х₁ ) < 0, то (в силу непрерывности) в промежутке, ограниченном точками х = 0 и х = x₁ существовала бы точка , (по крайней мере одна), в которой С () = 0 (ибо S (0 )= 0 и S (0) < S (x), а , что противоречит предположению.

 

Так как  то функция S (х) возрастает. Следовательно, S (х)>0 при х>0, ибо Так как — возрастающая положительная и ограниченная в интервале (0,+) функция, то существует конечный предел:

 

Из тождества  и неравенстa следует, что и значит С (х) есть убывающая функция. Будучи убывающей и положительной (а потому ограниченной), функция С (х) имеет предел в бесконечности:

 

Рассмотрим  разность

 

эта разность в бесконечности имеет предел равный 0:

 

Но, с другой стороны, применив теорему Лагранжа:

 

 

 (где ), получим:

 

Следовательно, предположение, что функция  отлична от нуля при всех положительных значениях аргумента, привело к противоречию, откуда следует справедливость теоремы, что и требовалось доказать.

Обозначим через наименьший положительный корень функции тогда В интервале (0, ) функция S(х) возрастает (как имеющая положительную производную) и S (0) = 0, а потому

 

Положив, в тождестве , получим Имеем

 
и в интервале (О, λ) функции С (х) и S (x) положительны.

Следовательно, эти функции удовлетворяют характеристическим условиям III — IV.

Функции С (х) и S(х), как удовлетворяющие условия I — IV, суть аналитический косинус и аналитический синус:

Докажем, что  . Рассмотрим параметрические уравнения окружности (см. стр. 495):

х = С_λ (t),    У = S_λ (t), где 0 < t < 4λ.

Вычислим  длину дуги а с началом в  точке А (1 , 0), соответствующей значению параметра t = 0, и с концом в точке М (х, у), соответствующей произвольному значению параметра t. Имеем:

 

Следовательно, С_λ (t) и S_λ (t) суть абсцисса и ордината конца дуги длины t единичной окружности, отложенной от точки А, а потому

C_λ(t) = cos t;  S_λ(t) = sin t

При t = λ имеем а = λ = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение тригонометрических функций при помощи обращения интегралов. В этой теории сначала определяются обратные тригонометрические функции, а затем тригонометрические функции как им обратные.

В данной аналитической теории рассматривается  функция, аргументом которой является верхний предел следующего интеграла

 

Этот  интеграл рассматривается (пока) вне  связи с известными из элементарной математики тригонометрическими и  обратными тригонометрическими  функциями.

Областью  определения подынтегральной функции  является интервал ( -1,1).

Оба несобственные  интеграла  и сходятся. Таким образом, областью определения функции А_S(х) служит сегмент [-1, 1]. Обозначим   и введем  в рассмотрение      функцию       А_С(х) = λ - А_S(х) = . Имеем А_S(х) + А_С(х) = λ

Из общих  теорем интегрального исчисления следует, что обе функции А_S(х) и А_S(х) непрерывны на сегменте [-1, 1].

Так как  подынтегральная функция положительна, то на сегменте -1 ≤ х ≤ 1 функция А_S(х) возрастает, а функция А_с(х) убывает. При этом первая возрастает от до λ, а вторая убывает от до 0.

Функция    у = А_S(х)    как   возрастающая   и   непрерывная   на сегменте       [-1,1] имеет обратную функцию непрерывную и возрастающую от -1 до 1 на сегменте –λ ≤ y ≤ λ.

 Функция  у = Ас(х)   имеет обратную функцию

Х = С (y),

непрерывную  и  убывающую от 1  до -1   на  сегменте 0 ≤ y ≤ 2λ .

Будем рассматривать  функции S(α) и С(α) совместно на сегменте 0 ≤ α ≤ λ

Теорема.   Функции   С(α) и   S(α) суть   тригонометрические функции

С(α) = соs α, S(α) = sin α, рассматриваемые на сегменте 0 ≤ α ≤

Доказательство. Рассмотрим первую четверть единичной  окружности

 

 

 где 0 ≤ х ≤ 1

Вычислим  длину дуги от точки В (О, 1) до произвольной точки М (х. у), имеем

 

Вычислим  длину четверти окружности

; итак 

Пусть α есть длина дуги АМ, тогда

 и х = С (α). Вычислим длину а дуги АМ следующим образом

  откуда 

Итак, и С (α) суть абсцисса и ордината точки М (х, у) единичной окружности, в которой оканчивается дута а, отложенная от начальной точки А (1, 0), ч. г. д.

Следствие. Функции Аз « Ас суть обратные тригонометрические функции:

 

При помощи интегрального представления функции Аs(х) п Aс (х) можно изучать аналитическими средствами свойства обратных им функций С (х) и S(х) . Для примера установим аналитически теоремы сложения для тригонометрических функций.

Пусть :

 

 

или

 

откуда

 

где

 

Положим далее

 

 

Тогда получим

 

и наконец