Различные способы аналитического определения тригонометрических функций

Содержание

1. Функции sinх и cosх как суммы степенных рядов
2. Свойства аналитического синуса и аналитического косинуса
3. Практическое применение (вычисление значений тригонометрических функций аналитическими средствами)
4. Тригонометрические функции как линейно независимая система решений линейного дифференциального уравнения.
5. Определение тригонометрических функций при помощи обращения интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В школе используется геометрический подход к введению тригонометрических функций, то есть тригонометрические функции  изучались нами на основе их геометрического определения. Однако в науке возникла необходимость в определении тригонометрических функций чисто аналитическими средствами, независимо от геометрии.

Создание неевклидовой геометрической системы поставило ее творца-великого русского ученого Николая Ивановича Лобачевского (1792-1856) перед проблемой определения тригонометрических функций аналитически, вне зависимости от геометрии Евклида. В своих трудах Н. И.Лобачевский определяет тригонометрические функции при помощи степенных рядов. Вплоть до XIX в. никто не сомневался в том, что евклидова геометрия единственно возможная. Но одна из евклидовых аксиом -  пятый постулат Евклида - вызывала особенные нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показало историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии. Многие годы шла подлинная затяжная "война" математиков с пятым постулатом. В начале ХIX в. в "сражение" с пятым постулатом вступил  и Н.И. Лобачевский 
 
В 1829 году журнал "Казанский вестник" опубликовал сочинение Лобачевского о неевклидовой геометрии. Работа называлась "О началах геометрии". Но ученые- современники не поняли ее значения, появилось много отрицательных отзывов, но Николай Иванович не прекратил своих исследований. После работы 1829 - 1830 гг. "О началах геометрии" Лобачевский печатает в "Ученых записках":  
в 1835 г. "Воображаемую геометрию"  
в 1836 г. "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам"  Этими трудами и положены основы современной аналитической теории тригонометрических функций.

Цель моей работы - показать, что  возможен не только изучаемый нами в школе геометрический подход к теории, но и аналитическое построение теории тригонометрических функций.

Недостатки школьного  определения sin x и cos x.

В школьном курсе математики сначала  даётся определение sin x и cos x с помощью прямоугольного треугольника, sin x как отношение противолежащего катета к гипотенузе;

cos x  как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Позже sin x как ордината точки, лежащей на единичной окружности. А cos x как абсцисса точки, лежащей на единичной окружности.

 

С помощью этих определений не трудно найти, например, sin30°,cos180°, sin90° и т.д., но как вычислить, скажем, cos 36° 30 ´, да ещё и с точностью до пяти десятитысячных знаков, тут уже без таблиц Брадиса не обойтись. Существует  и другой способ, который будет рассмотрен далее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции sinх и cosх как суммы степенных рядов.

Рассмотрим  тригонометрическую функцию f(x)=sinx   Она имеет производные    всех    порядков,     вычисляемые   по   формулам

 

И при всех х и n выполняются условия:

 

Следовательно, f(x) =sinx разлагается в ряд Тейлора и разложение   справедливо при всех х. Найдем коэффициенты ряда Тейлора:

 

величина  с_n зависит от четности или нечетности n :

 

 

 

Таким образом, при любых х верно разложение:

 

 

Последнее равенство  можно считать определением sinx, так как радиус сходимости ряда в правой части равен бесконечности, и, следовательно, сумма ряда определена и непрерывна на всей числовой оси.

Итак, аналитическим синусом называется функция, заданная следующей формулой:

 

 

 

Для функции  f(x)=cosx можно так же получить разложение в ряд Тейлора.

Аналитическим косинусом называется функция, заданная следующей формулой:

 

Свойства аналитического синуса и аналитического косинуса.

1. Областью определения функций С (х) и S (х) является множество всех действительных (комплексных) чисел.

В самом деле, степенные ряды (*) и (**) сходятся (и притом абсолютно) при произвольном действительном (комплексном) значении х. Чтобы в этом убедиться, достаточно применить признак абсолютной сходимости Даламбера. Так, для ряда (**) имеем:

 

 

2°. Функция С (х) — четная,  а функция S(х) — нечетная.

 

 

Это очевидно, так как ряд (**) содержит только лишь четные, а ряд (*) — только лишь нечетные степени аргумента.

3^е. Имеют место следующие формулы:

 

 

Доказательство. В справедливости доказываемых тождеств можно убедиться проверкой, выполнив соответствующие действия над рядами. Для примера докажем первое тождество. Имеем в левой части:

 

Так как ряд сходится и притом абслютно, то правую часть можно получить путем умножения рядов:

 

 

Получим ряд – произведение с  общим членом:

 

Выполнив умножение рядов

 

 

Получим ряд – произведение с  общим членом:

 

Выполнив сложение, получим

 

Таким образом ,получили ряд, тождественно равный ряду 

Что и требовалось доказать.

Следствие 1.

 C² (x)+ S² (x) = 1

Доказательство. Если в равенстве 

Положить , что y=x получим С (x - x) = C (0) = 1, таким образом получим

C² (x)+ S² (x) = 1

Следствие 2.

 

 

Доказательство. Заменив в тождествах 

 

Аргумент  y на - y и воспользовавшись нечетностью аналитического синуса и четностью аналитического косинуса, получим формулы, которые нам следовало доказать.

Следствие 3.

Для аналитического синуса и аналитического косинуса имеют место те же самые  формулы сложения, которые доказаны для тригонометрических функций, достаточно лишь заменить cos x на C(x) и sin x на S(x). Так как формулы сложения имеют место для S(x) и C(x), то и следствия этих формул тоже остаются в силе:

Формулы преобразования произведения в суммы:

 

 

 

Формулы преобразования сумм в произведение:

 

 

 

 

Формулы двойного угла

 

Следствие 4.

Функции C (x) и S(x) имеют на всей числовой прямой производные любого порядка. Эти производные можно получить почленным дифференцированием.

Это свойство вытекает из общей теоремы анализа  о дифференцируемости степенного ряда в интервале  сходимости. Имеем:

 

 

Следствие 5. Уравнение С (х) = 0 имеет наименьший положительный корень. Обозначим через λ этот корень, тогда

а) в интервале (0, λ) обе функции С (х) и S (х) положительны,

Ь) на сегменте функция С (х) убывает от 1 до 0, а функция S (х) возрастает от 0 до 1.

Доказательство.   Имеем:

 

При достаточно малых положительных значениях х все члены этого последнего ряда положительны, а потому

Это неравенство  будет наверное выполнено, если.Итак, в интервале (0, 2) функция S (х) положительна. Докажем, что в этом интервале функция С (х) убывает, для этого достаточно установить, что ее производная отрицательна. В самом деле:

 

В интервале (0,2)

Вычислим  C(0)и C(2)

 

 

 

Следовательно, в концах сегмента [0, 2] функция С (ж) имеет противоположные   знаки:

 

В силу непрерывности  и монотонности этой функции на данном сегменте существует единственное значение аргументах

при котором  функция С (х) обращается в нуль:

 

при этом  С (х)>0 в интервале

 

Итак,   обе   функции   С (х)   и   S(х)   положительны   в   интервале

Положив в тождестве