Различные способы аналитического определения тригонометрических функций

C² (x)+ S² (x) = 1

 

получим S () = 1   (принять во внимание, что )

Так как 
 

 в интервале (0,), то на сегменте [0,] функция S (х) возрастает.

Следствие 6.

 Имеют место формулы приведения:

 

 

 

 

 

Следствие. Функции С(х) и S(х) периодические. В самом деле, тождества  

показывают, что число 4 является периодом для каждой из этих функций.

Следствие 7. В каждом из интерваловгде -произвольное целое число) каждая из функций С (х) и S (х) знакопостоянна.

В силу периодичности  рассматриваемых функций, достаточно установить их знакопостоянство лишь в следующих четырех интервалах:

 

а)в интервале (0,

 

б)в интервале ,, .

Действительно,, то .

 

Аналогично  доказываются следующие утверждения:

в) в интервале ( ):

, .

г)в интервале ( ):

 

Следствие. Функция положительна в интервале и отрицательна в интервале ( ):

Следствие 8.

 На сегменте функция С(х) убывает, а на сегменте [] — возрастает.

Доказательство. Пусть .

Составим  разность

 

Так как

 

то

 

и

 

а потому

 

и

 

Откуда

 

и

 

Таким образом, C(x) убывает на сегменте.Возрастание на сегменте  [] доказывается аналогично.

В интервале (- S (x) возрастает,а в интервале (-убывает (доказывается тем же методом).

Справедлива теорема

Теорема. Аналитический косинус и аналитический синус совпа-

дают с тригонометрическими функциями cos x и sin x:

С (х) = соs х, S (х) = sin х.

Доказательство. Достаточно доказать следующие положения:

а)   уравнения

Х = С(х), Y = S(x)                                    (1)

Суть  параметрические уравнения единичной  окружности

X'² +Y ² = 1;

Ь) аргумент х есть длина дуги АМ единичной окружности от точки А (1, 0) до точки М (X, У].

а) Рассмотрим простую дугу, определяемую уравнениями (1) на сегменте λ (четверть периода). На этом сегменте функции С (х) и S (х) непрерывны и монотонны (первая убывает, вторая возрастает), следовательно, система (1) определяет на плоскости некоторую простую дугу.

При произвольном значении параметра х, где λ , соответствующая точка дуги расположена в первой четверти единичной окружности, так как

X ²+Y² = [C(x)]²+ [S(x)]² =1

 и 

 

 

Обратно,   пусть  М(Х,У) — точка,   расположенная   в   первой четверти единичной   окружности

 

где 

0 ≤ X ≤ 1;

 эта точка  соответствует тому значению  параметра х на сегменте

 λ,

при котором функция С (х) имеет значение равное X

Концами дуги служат  точки:

x = 0, X = C(0) = 1, Y = S(0) = 0

и

x = λ,  X = C(λ) = 0, Y = S(λ) = 1 (рис 1)

Рис.1

 

Таким образом, система (1) на сегменте дает параметрическое представление полной единичной окружности.

б) Докажем что параметр х есть длина дуги s единичной окружности, отсчитываемой от точки А (1, 0). Имеем

 

Значит x есть радианная мера угла, образованного отрезком ОМ (рис.1) с осью абсцисс. Отсюда вытекает интерпретация функций С (х) к S (х) как «линии косинуса» и «линии синуса» угла x,что и требовалось доказать.

Из изложенного следует, что  геометрическое определение функций cos x и sin x и аналитическое определение функций С (х) и S (х) являются лишь различными способами задания одних и тех же функций. Свойства этих функций можно изучать как геометрическими, так и чисто аналитическими средствами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое применение аналитического синуса и косинуса (вычисление значений тригонометрических функций аналитическими средствами).

Требуется, вычислить с точностью до пяти десятичных знаков . Решение.  Угол 24°30' в радианной мере измеряется числом 0,427606. Воспользуемся приближенной формулой

 

с ошибкой, меньшей  чем

 

 

Положив  х = 0,427606,    произведем   вычисления   по   общим правилам приближенных вычислений с шестью десятичными знаками:

положительные слагаемые 1 = 1,000000

 

1,000000+

 

отрицательные  слагаемые

 

 

Получим,0,091430

Откуда после  вычитания и округления получим

соз24°30'= 0,90996.

 

 

  Тригонометрические функции как линейно независимая система решений линейного дифференциального уравнения.

Тригонометрические  функции можно определить как  частные решения некоторого линейного  дифференциального уравнения второго порядка, при этом их свойства можно установить на основании общих теорем теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим  уравнение:

()

Согласно  общим теоремам теории дифференциальных уравнений, существуют два частные  решения С (х) и S (х) уравнения (), удовлетворяющие следующим начальным условиям:

С(0)=1,   С'(0) =0,   S(0)= 0,   S'(0)=1.

Функции С (х) и S (х) линейно независимы, так как :

 

а потому общее решение уравнения () можно представить   в виде

 

где с₁  и с₂ — произвольные постоянные.  Функции   С (х)   и   S (х) непрерывны в интервале   (— ,   + ).

Дифференциальное  уравнение() можно заменить системой линейных уравнений

 

с постоянными  коэффициентами. Существует единственное решение этой системы

удовлетворяющее начальным условиям

 

Функция у (х) (в силу способа составления системы) удовлетворяет дифференциальному уравнению () и начальным условиям