Представление чисел в ЭВМ

 
 
 
 

 При алгебраическом сложении чисел в  ОК со знаковым разрядом оперируют  как с разрядом цифровой части  числа, а при возникновении единицы  переноса из знакового разряда ее прибавляют к младшему разряду числа. 

А =-356,31₁₀ = -101100100,01001111₂ 

B = 723,54₁₀ = 1011010011,100010100011₂    

      А_пк = 1, 0101100100010011110000₂  

  В_пк  = 0, 1011010011100010100011₂

   А_ок = 1, 1010011011101100001111₂  

В_ок = 0, 1011010011100010100011₂                                         М = 2¹⁰ 
 

Сложение: 

  1, 1010011011101100001111   

  0, 1011010011100010100011

10, 0101101111001110110010

                                                1

  0, 0101101111001110110011 

0, 0101101111001110110011_ок = 101101111, 001110110011_пк                 

101101111, 001110110011_{2 =} 367,23₁₀

Проверка:

(-356,31) ₁₀ + 723,54₁₀ = 367,23₁₀ 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

 При алгебраическом сложении чисел в ДК результат  получают также в ДК, а при возникновении  единицы переноса из знакового разряда ее отбрасывают. 

А=356,31₁₀ =   101100100,01001111₂

B =-723,54₁₀ = -1011010011,100010100011₂    

А_пк = 0, 0101100100010011110000₂

B_пк = 1, 1011010011100010100011₂    

А_дк = 0, 0101100100010011110000₂

В_дк = 1, 0100101100011101011101₂

                                                      М = 2¹⁰ 
 

Сложение:

 0, 0101100100010011110000

 1, 0100101100011101011101

1, 1010010000110001001101    

1, 1010010000110001001101_дк = 1,0101101111001110110011_пк            

-101101111, 001110110011=-367,23₁₀ 

Проверка:

356,31₁₀ + (-723,54) ₁₀ = -367,23₁₀ 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 Модифицированные  обратный и дополнительный коды (МОК и МДК) имеют для изображения знака два соседних разряда: « + » – «00», « - » – «11». Эти коды используются для обнаружения ситуации ПРС - переполнения разрядной сетки. ПРС возникает при сложении чисел с ФЗ одинакового знака, когда результат операции выходит за верхнюю границу диапазона представления чисел, это приводит к потере старших разрядов.

 Формальным  признаком ПРС при использовании  МОК и МДК является появление  запрещенных комбинаций в знаковых разрядах – «01» или «10».

 Для исправления результата можно либо увеличить масштаб результата, сдвинув  его вправо на один разряд, а в  освободившийся старший знаковый разряд поместить значение младшего знакового  разряда, либо увеличить масштабы исходных операндов и выполнить арифметическую операцию снова. 
 
 
 

А=-356,31₁₀ = -101100100,01001111₂

B =-723,54₁₀ = -1011010011,100010100011₂    

А_пк = 1, 010110010001001111₂

B_пк = 1, 1011010011100010100011₂    

А_мдк = 11, 101001101110110001₂  

В_мдк = 11,0100101100011101011101₂                      М = 2¹⁰ 

Сложение:

  11,1010011011101100010000  

  11,0100101100011101011101                     

  1 10,1111001000001001101101

 10 - запрещенная комбинация. Увеличиваем масштаб результата, сдвинув его вправо на один разряд, а в освободившийся старший знаковый разряд помещаем значение младшего знакового разряда: 

1, 01111001000001001101101_дк = -10000110111110110010011_пк

-10000110111,110110010011₂ = -1079,848₁₀ 

Проверка:

-356,31₁₀ + (-723,54)₁₀ = -1079,85₁₀ 
 
 
 
 

 
 
 

 Сложение  чисел в форме  с ПЗ выполняется в несколько этапов. Числа с ПЗ изображаются двумя частями: мантиссой и порядком.

 

 Чтобы их сложить, надо выполнить различные  действия над мантиссами и порядками. Поэтому в машинах предусмотрены различные устройства для обработки мантисс и порядков. Мантиссы исходных операндов нормализованы.

1. Выравнивание порядков слагаемых: меньший порядок увеличивается до большего, при этом мантисса меньшего преобразуемого числа денормализуется. В машине выполняется вычитание порядков операндов. Знак и модуль разности порядков определяет, мантиссу какого из слагаемых надо сдвигать вправо и на сколько разрядов.
2. Сложение мантисс операндов по правилам сложения чисел с ФЗ.
3. Нормализация результата, если необходимо.  При этом денормализация вправо, т.е. ситуация, когда  в старшем разряде двоичной мантиссы «0», требует сдвига мантиссы влево и уменьшения порядка на соответствующее количество единиц.  Денормализация влево означает временное ПРС мантиссы суммы, но в отличие от чисел с ФЗ, здесь возможна коррекция: сдвиг мантиссы на один разряд вправо и увеличение на «1» порядка суммы.

 При больших величинах порядков возможно возникновении истинного ПРС числа с ПЗ, хотя вероятность этого невелика.

 Смещенные порядки используются в большинстве современных ЭВМ для упрощения процесса выравнивания порядков и их сравнения.

 При этом для представления порядка  применяется специальный дополнительный код с инверсным кодированием знака: « + » – «1», « - » – «0». В результате порядки чисел увеличиваются (в ЕС ЭВМ на 2⁶=64, в СМ ЭВМ на 2⁷=128), что приводит к смещению всех порядков по числовой оси в положительном направлении. Такие смещенные порядки называют характеристиками, и так как они все оказываются целыми положительными числами, то алгебраическое сложение можно производить без предварительного анализа знаков. 

А=356,31 =  101100100,01001111₂

B =723,54 =  1011010011,100010100011₂      

А

 
 

В

 

Сложение:

       1)  Выравниваем порядки, для  чего выполняем их вычитание  с использованием ДК

            Р_А     =  0,1001

           (Р_в )_дк = 1,0110

                    1,1111

                      

(Р_А- Р_В)_дк=1,1111

(Р_А- Р_В)_пк=1,0001

Р_А- Р_В = -1, значит денормализуем А – сдвигаем мантиссу на один разряд вправо и увеличиваем порядок А на 1.

А

 
 

           

2)    Складываем  мантиссы

                       0, 0101100100010011110000

                       0, 1011010011100010100011

                       1, 0000110111110110010011

ПРС! Сдвиг мантиссы на один разряд вправо и увеличение порядка суммы на 1.

0, 10000110111110110010011

А+В

 

Проверка:

10000110111, 110110010011₂ =  1079,847₁₀  

356,31+723,54 = 1079,85 
 
 

 

III. Умножение двоичных чисел. 

 Процесс умножения чисел в двоичной системе  счисления прост, так как разрядами  множителя могут быть либо «0», либо «1», и, следовательно, частичным произведением в каждом такте цикла умножения будет либо «0», либо множимое. Поэтому в цикле умножения двоичных чисел три элементарных операции:

1. анализ цифры очередного разряда множителя; 
2. суммирование  множимого с накопленной суммой частичных произведений,   если цифра      множителя «1»; 
3. сдвиги в каждом такте умножения.

 Умножение можно выполнять как с младших, так и со старших разрядов множителя, со сдвигом, как частичной суммы, так и множимого в процессе умножения. Этим объясняется существование четырех способов умножения чисел.

 Следует обратить внимание на то, что множитель  сдвигается во всех способах умножения, так как в каждом такте анализируется  очередной разряд: при умножении  с младших разрядов сдвиг вправо (в сторону младших разрядов), при умножении со старших разрядов множитель сдвигается влево. И еще одна особенность, позволяющая легко запомнить способы умножения: сумма частичных произведений обычно сдвигается в ту же сторону, что и множитель, а множимое сдвигается навстречу множителю, т.е. в противоположную сторону. 

 
 
 
 

 I способ - умножение с младших разрядов множителя со сдвигом суммы частичных произведений вправо.

 Устройства, которые хранят операнды, регистры, имеют следующую разрядность:

1. регистры множителя и множимого – n-разрядные;
2. регистр частичных произведений – 2n-разрядный.

 Суммирование  множимого следует выполнять  в старшие n разряды регистра суммы  частичных произведений. Причем разрядность  его можно уменьшить вдвое, до n разрядов, помещая при сдвиге младшие разряды суммы на место освобождающихся разрядов регистра множителя.

 Особенность I способа умножения состоит в  том, что имеется возможность  временного переполнения разрядной  сетки (ПРС) в регистре суммы частичных  произведений, которое ликвидируется при очередном сдвиге вправо. 

 Алгоритм  умножения двоичных чисел в прямом коде:

1. определить знак произведения путем сложения по модулю два знаковых разрядов сомножителей;
2. перемножить модули сомножителей одним из четырех способов;
3. присвоить полученному произведению знак из п.1. данного алгоритма.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

C = 23₁₀

D = -57₁₀ 

С =   10111₂

D = -111001₂

С _пк = 0,010111  М = 2⁶

D _пк = 1,111001 

D = 0,111001 – модуль множимого

Знак  произведения: 0 +  1 = 1