Построение жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. Жорданова нормальная форма матрицы

           При отыскании трансформирующей матрицы  T  удобным может оказаться Правило 2.

           Задача 3. Для матрицы H, имеющей жорданову форму J, найти трансформирующую матрицу T, если

                                 , .

           Решение. Для решения задачи следует решить матричное уравнение , т.е. уравнение

                          .

           Проведя умножение  матриц в обеих частях этого уравнения, и сравнив соответствующие элементы левой и правой части этого  равенства, получим систему

     

           Одним из решений  этой системы является

                                       

           Поэтому

                                                                   Ответ:  .

           По столбцам этой матрицы можно выписать векторы жорданова базиса оператора   h :  , , .

           Задача 4. Пользуясь правилом 4, найти жорданову матрицу J для матрицы

                                             .

           Решение. Составим матрицу

                                        .

           Очевидно, что общий  наибольший делитель всех ее элементов  . Для отыскания выпишем все миноры второго порядка матрицы :

      , , , ,

      , , ,

      , .

           Отсюда видно, что  . Для отыскания замечаем, что

                                   .

           Следовательно, . Теперь по формулам (48) получаем

      , , .

     Поэтому

                                               .

           Если хотим воспользоваться примечанием к правилу 4, то матрицу

     

      .

           Отсюда следует, что  , , . Поэтому

                                                                           Ответ:    .

           Задача 5. Матрица

                                          

имеет жорданову форму

                                          .

           Найти трансформирующую матрицу T, приводящую матрицу H к матрице J.

           Решение. Сначала элементарными преобразованиями приведем матрицу к матрице :

      = .

           Далее замечаем, что  над столбцами матрицы  проведены элементарные преобразования, равносильные умножению ее справа последовательно на матрицы

                                         , .

                           .

           Так как матрица  оказалась многочленом нулевой степени от , то она сразу даст матрицу T.

                                                 Ответ: Следовательно, .

           Точно так же можно  заметить, что над строками проведены элементарные преобразования, равносильные умножению ее слева последовательно на матрицы

                                       , ,

                      . 
 
 
 

     Заключение

 В данной курсовой работе

• Даны определения жордановой матрицы, жордановой клетки и жорданова базиса.
• Рассмотрены алгоритмы нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки и для матрицы третьего порядка.
• Построены жордановы базисы, жордановы и трансформирующие матрицы с помощью пяти правил.
• Сформулирована и доказана теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме.
• С помощью понятий, правил и теорем были решены 6 задач.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Краткие исторические сведения

     

     Жордан (Jordan) Мари Энмон Камиль (5.1.1838, Лион, - 21.1.1922, Париж), французский математик, член Института Франции (1881). Издатель «Journal de mathématiques pures et appliqués» (1885 – 1921), был член корреспондентом Петербургской АН (1895). Работы Жордана относятся к алгебре, математическому анализу, теории функций, а также топологии и кристаллографии. Один из первых создателей новой математики. С именем Жордана связаны: теорема Жордана – Гёльдера о композиционных рядах групп, теорема Жордана о разбиении плоскости на две связанные компоненты плоской простой замкнутой кривой (1893), кривая Жордана, мера Жордана (1892), жорданов признак сходимости рядов Фурье (1881), нормальная (жорданова) форма матриц; им введено понятие функции с ограниченным измерением. Жордану принадлежат первый систематический курс теории групп и теории Галуа (1870) и трехтомный курс анализа (1882 1887). Развивал теорию конечных групп. 
 
 
 
 
 
 

     Список  литературы

1. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Библиографический справочник. – Киев: Наукова Думка, 1983. – 639 с.
2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – 4-е изд., испр. – М.: Наука, 1985. – 392 с.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – 9-ое изд., испр. – М.: Наука, 1986. – 431 с.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Юнимедиастайл, 2002. – 475 с.
5. Удоденко Н.Н., Глумакова Т.Н. Руководство к решению задач по алгебре. Часть 2. Жорданова форма матрицы и жорданов базис. – Воронеж: изд-во ВГУ, 2003. – 43 с.
6. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – Пермь: изд-во ПГУ, 1996.

     – 324 с.