Построение жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. Жорданова нормальная форма матрицы

ustify">     3. Пусть характеристический многочлен  матрицы A имеет вид

                                        .                                      (13)

           Возможны два случая:

     а) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением :  ;

     б) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением :  . 

     §2. Канонический вид  для характеристической матрицы. Свойства жордановой матрицы 

     2.1. Канонический вид для характеристической матрицы

     Нашей ближайшей целью является разыскание канонического вида для характеристической матрицы  произвольной жордановой матрицы порядка n. Найдем сначала канонический вид для характеристической матрицы

                                                                            (14)

одной жордановой клетки (4) порядка m. Вычисляя определитель этой матрицы и вспоминая, что старший коэффициент многочлена должен равняться 1, получаем, что

                                                                                        (15)   

     С другой стороны, среди миноров (m–1)-го порядка матрицы (14) имеется минор, равный единице, а именно тот, который получается после вычеркивания первого столбца и последней строки этой матрицы. Поэтому

                                                   .                                         (16)

     Отсюда  следует, что каноническим видом для матрицы (14) служит следующая -матрица порядка m:

                                              .                                  (17)

     Докажем теперь следующую лемму:

     ЛЕММА 1. Если многочлены из кольца P[ ] попарно взаимно просты, то имеет место следующая эквивалентность:

                                  .                 (18)

     Доказательство. Достаточно, очевидно, рассмотреть случай t=2. Так как многочлены и взаимно просты, то в кольце   P[ ] существуют такие многочлены и , что 

                                        .                           (19)

     Поэтому

     

     

      ,

                                                                                      Лемма доказана.

     2.2. Характеристическая матрица

           Перейдем теперь к рассмотрению характеристической матрицы

                                                (20)

для жордановой матрицы вида (20); здесь , , есть единичная матрица того же порядка, что и клетка  . Пусть жордановы клетки матрицы относятся к следующим различным числам: , где . Пусть, далее к числу , относится жордановых клеток, , и пусть порядки этих клеток, расположенные в невозрастающем порядке, будут

                                                .                                 (21)

     Применяя  элементарные преобразования к тем  строкам и столбцам матрицы (20), которые проходят через клетку этой матрицы, мы не будем затрагивать, очевидно, других диагональных клеток. Отсюда следует, что в матрице (20) можно при помощи элементарных преобразований заменить каждую клетку , , соответствующей клетки вида (17). Иными словами, матрица эквивалентна диагональной матрице, на диагонали которой стоят, помимо некоторого числа единиц, также следующие многочлены, соответствующие всем жордановым клеткам матрицы :

                                    .                     (22)

     Мы  не указываем при этом те места  на диагонали, на которых стоят многочлены (22), так как в любой диагональной -матрице диагональные элементы можно произвольно переставлять при помощи перестановок строк и одноименных столбцов. Это замечание следует учитывать и в дальнейшем.

           Пусть q – наибольшее среди чисел , . Обозначим через произведение многочленов, стоящих в -м столбце таблицы (22), , т.е.

                                             ,                               (23)

если  при этом в  -м столбце имеются пустые места – для некоторых J может оказаться, что , – то соответствующие множители в (23) считаем равными единице. Так как числа по условию различные, то степени линейных двучленов, стоящие в -м столбце таблицы (22), попарно взаимно просты. Поэтому, на основании доказанной выше леммы, они при помощи элементарных преобразований могут быть заменены в рассматриваемой диагональной матрице их произведением и некоторым числом единиц.

           Проделав это для , мы получим, что 

                                  .                              (24)

     Это и будет искомый канонический вид матрицы . Действительно, старшие коэффициенты всех многочленов, стоящих в (24) на главной диагонали, равны единице и каждый из этих многочленов нацело делится на предыдущий ввиду условия (21).

     Пример 1. Пусть

                                           .

     Для этой жордановой матрицы 9-го порядка таблица многочленов (22) имеет вид

                               ,  ,  , ,  .                   (25)

     Поэтому инвариантными множителями матрицы  будут многочлены

                                   ,

                                    ,                                         (26)

                                          ,

в то время  как

                                     .

           Теперь, когда мы научились по виду данной жордановой матрицы  сразу писать канонический вид ее характеристической матрицы, может быть доказана следующая теорема:

           ТЕОРЕМА 3. Две жордановы матрицы тогда и только тогда подобны, если они состоят из одних и тех же жордановых клеток, т.е. отличаются, быть может, лишь расположением этих клеток вдоль главной диагонали.

           Доказательство. В самом деле, таблица многочленов (22) полностью определялась набором жордановых клеток жордановой матрицы и в ней никак не отражалось расположение жордановых клеток вдоль главной диагонали этой матрицы. Отсюда следует, что если жордановы матрицы и обладают одним и тем же набором жордановых клеток, то им соответствует одна и та же таблица многочленов (22), а поэтому одни и те же многочлены (23). Таким образом, характеристические матрицы и обладают одинаковыми инвариантными множителями, т.е. эквивалентны, а поэтому сами матрицы и подобны.

           Обратно, если жордановы  матрицы  и подобны, то их характеристические матрицы обладают одинаковыми инвариантными множителями. Пусть многочлены (23) для будут те из этих инвариантных множителей, которые отличны от единицы. Однако по многочленам (23) восстанавливается таблица многочленов (22). Именно, многочлены (23) разлагаются в произведение степеней линейных множителей, так как этим свойством обладают, как уже доказано, инвариантные множители характеристической матрицы для тех максимальных степеней линейных множителей, на которые разлагаются многочлены (23). Наконец, по таблице (22) восстанавливаются жордановы клетки исходных жордановых матриц: каждому многочлену из таблицы (22) соответствует жорданова клетка порядка , относящаяся к числу . Эти доказано, что матрица и состоят из одних и тех же жордановых клеток и отличаются, быть может, лишь расположением.    

                                                                                         Теорема доказана.

           Из этой теоремы  следует, в частности, что жорданова матрица, подобная диагональной матрице, сама диагональна и что две диагональные матрицы тогда и только тогда подобны, если получаются друг из друга перестановкой чисел, стоящих на главной диагонали.

     2.3.Свойства

• Количество и размер жордановых клеток. Количество жордановых клеток порядка с собственным значением в жордановой форме матрицы можно вычислить по формуле

             ,  (27)

     где E - единичная матрица того же порядка что и , - ранг матрицы , а , по определению, равен порядку .

     Пусть H – матрица, которую нужно привести к жордановой форме, ( ) – собственные значения этой матрицы.

     Количество  жордановых клеток размера P, отвечающих собственному значению , определяется следующим образом:

                                         ,                                             (28)

                    , , ,                         (29) где , - кратность корня  .

     Пример 2. Пусть дана матрица преобразования:

                                           .

     Найдем  количество и размер жордановых клеток, соответствующих каждому значению этого преобразования.

     Как искать собственные значения, было подробно рассказано в первом пункте. Поэтому опустим все расчеты, а сразу укажем собственные числа  матрицы H: кратности и кратности .

     Используя соотношения (28) и (29), найдем количество и размер жордановых клеток, соответствующих , .

                              .

     Очевидно, что  и, соответственно, , .

     Количество  жордановых клеток размера 1 будет равно: .

     Ясно, что других клеток для собственного значения нет. Таким образом, для , мы имеем единственную жорданову клетку вида .

     Далее аналогичным образом определяем клетки для второго собственного значения кратности .

                                .

     Очевидно, что  и, соответственно, .

     Далее:

               

то есть и, соответственно, .

     Теперь  можно определить количество и размер жордановых клеток для второго собственного значения:

     - размера 1: ;

     - размера 2: .

     Таким образом, для  мы получили одну клетку размера 2: