Построение жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. Жорданова нормальная форма матрицы

     Соответственно, жорданова форма для исходной матрицы  H будет иметь вид:

                                         . 

     

• В случае если поле P не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица была подобна над P некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле P содержало все корни характеристического многочлена матрицы .

     §3. Построение жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. Жорданова нормальная форма матрицы 

     3.1. Построение жорданова базиса

     Правило 1. При построении жорданова базиса оператора h с матрицей H исходном базисе и при построении жордановой формы J матрицы H и трансформирующей матрицы H, имеющего кратность , необходимы практические действия в следующей последовательности.

1. Составить матрицу и возводить ее последовательно в степени до тех пор, пока не получится равенство

                                              ,                          (30)

где – ранг матрицы , n – порядок матрицы H, – кратность характеристического корня матрицы H.

     Наименьшее  натуральное число m, при котором выполняется равенство (30), даст максимальную длину жордановых цепочек в корневом подпространстве  .

2. Построить подпространство собственных векторов по оператора H. Для этого найти какую-либо фундаментальную систему векторов-решений системы и положить

                                             .                            (31) 

3. Найти пересечение

                                                    ,                          (32)

где   -  пространство столбцов матрицы (через обозначены базисные столбцы матрицы ).

           Для этого полагают

                                           .            (33)

     Переходят от этого векторного равенства к  покоординатным равенствам и для полученной при этом однородной системы относительно находят какую-либо фундаментальную систему решений. Подставляя эти решения поочередно в (33), получают систему линейно независимых векторов

                                                    ,                               (34)

     которые составляют базис в . Эти векторы являются собственными векторами, с которых начинаются жордановы цепочки максимальной длины в корневом подпространстве .

4. Для каждого вектора , из системы векторов (34) найти присоединенные векторы -й жордановой цепочки длины решая систему

                            , .                            (35)

5. Если общее число векторов

                                               .                                   (36)

построенных в предыдущих пунктах, меньше , то следует перейти к построению подпространства

                                          ,                                     (37) где - подпространство столбцов матрицы . В подпространстве построить базис, содержащий использованные в предыдущих пунктах векторы системы (34). Пусть таким базисом в является система собственных векторов

                                  .                   (38)

     Тогда векторы

                                             .                                              (39)

будут собственными векторами, с которых  начинаются жордановы цепочки длины  в корневом подпространстве .

6. Для каждого вектора , из (39) найти присоединенные векторы -й жордановой цепочки длины , решая систему

                                  ,  .                 (40)

     Так следует переходить от подпространства  к подпространству , , и поступать, как описано в предыдущих пунктах, до тех пор, пока не окажется общее число векторов во всех построенных жордановых цепочках равным . Затем выписывают все эти цепочки векторов одну за другой и получают жорданов базис оператора H в корневом подпространстве . Проделав так для каждого характеристического корня , , и объединив полученные при этом жордановы базисы всех корневых подпространств , получим жорданов базис оператора h во всем пространстве .

7. Выписать жорданову матрицу J в соответствии с построенным жордановым базисом оператора H в пространстве .
8. Выписать трансформирующую матрицу T из столбцов координат векторов построенного жорданова базиса оператора H в пространстве .

     Примечание. Жорданов базис оператора H в пространстве и трансформирующая матрица T находятся неоднозначно.

     3.2. Второй способ построения жордановой и трансформирующей матриц

           Правило 2. При построении жордановой матрицы J для матрицы H порядка n можно проделать для каждого характеристического корня матрицы H  следующие практические действия.

1. Составить матрицу и возводить ее последовательно в степени до тех пор, пока не получится равенство

                                    ,                                   (41)

     Где - ранг матрицы , n – порядок матрицы H, - кратность характеристического корня матрицы H. Наименьшее натуральное число m, при котором выполняется равенство (43), даст максимальный порядок жордановых клеток по в матрице J.

2. По формуле

                                        ,  ,                (42)

или по формуле

                                            ,  ,                 (43)

где - число жордановых клеток по порядка t в жордановой матрице J матрицы H, , - дефект оператора с матрицей , , - ранг матрицы , подсчитать число жордановых клеток по порядка t,  , .

     3) По вычисленным числам  , , для всех матрицы H составить матрицу J.

           Правило 3. Если для матрицы H известна ее жорданова матрица J, то для отыскания трансформирующей матрицы T следует решить матричное уравнение

                                                        .                                      (46)

     По  столбцам матрицы T легко выписать векторы жорданова базиса H в пространстве P.

     3.3. Третий способ  построения жордановой и трансформирующей матриц

           Приведем еще один способ построения жордановой и трансформирующей матриц. Для этого нам потребуется следующее замечание. Под элементарными преобразованиями над -матрицей понимают:

1. умножение любой строки матрицы на любое число ;
2. умножение любого столбца матрицы на любое число ;
3. прибавление к любой -й строке любой -й строки, умноженной на любой многочлен , ;
4. прибавление к любому -му столбцу любого -го столбца, умноженного на любой многочлен .

     Проверкой легко убедиться, что первое и  третье элементарные преобразования над матрицей равносильны умножению ее слева соответственно на элементарные матрицы

                                               -я строка

                                                                     -й столбец

                                             -я строка.               (45)

                                                                  -й столбец

     Аналогично  второе и четвертое элементарные преобразования над матрицей равносильны умножению ее справа соответственно на элементарные матрицы (45).

     Каноническим  видом матрицы  называют диагональную матрицу

                                           ,

в которой  каждый многочлен  , , нацело делится на многочлен и старший коэффициент каждого многочлена , , равен единице. Многочлены называют инвариантными множителями матрицы . Многочлен совпадает с минимальным многочленом матрицы H.

     Правило 4. При построении жордановой матрицы J для матрицы H порядка n можно осуществить практические действия в следующей последовательности.

1. Составит матрицу и для каждого k, , вычислить наибольший общий делитель всех миноров k-го порядка этой матрицы, взятый со старшим коэффициентом, равным единице.
2. Вычислить инвариантные множители матрицы по формулам

                                           , .                      (46)

3. Разложить каждый инвариантный множитель в произведение элементарных делителей, т.е. в произведение вида

                                 , .             (47)

4. Составить жорданову матрицу J матрицы H, ставя по ее диагонали в соответствие каждому элементарному делителю из разложений (47) жорданову клетку по порядка .

           Примечание. Пункты 1 и 2 правила 1 можно заменить следующим: инвариантные множители матрицы получить путем приведения ее к каноническому виду с помощью элементарных преобразования над нею.

           Правило 5. Для отыскания матрицы T, приводящей матрицу H к жордановой матрице J, можно осуществить следующие действия.

1. Матрицу элементарными преобразованиями привести к виду .
2. Выбрать по порядку все проведенные элементарные преобразования над столбцами, найти соответствующие им элементарные матрицы вида (47) и составить матрицу , равную произведению этих элементарных матриц слева направо в том же порядке, в каком они использовались.
3. Матрицу записать в виде

                               ,                               (48)

и подсчитать матрицу