Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Ноября 2011 в 17:31, курсовая работа
Целью курсовой работы является ознакомление с понятием жордановой формы матрицы, способами получения, построения жорданова базиса и жордановой матрицы и приведение жордановой матрицы к нормальной форме.
. (49)
Если матрица окажется матрицей нулевой степени от , то она сразу дает матрицу T.
Запись -матрицы в виде многочлена от не представляет затруднений. Например,
.
Примечание. Вместо пунктов 2 и 3 можно проделать следующее. Выбрать по порядку все проведенные элементарные преобразования над строками, заменить их элементарными матрицами вида (45) и составить матрицу , равную произведению этих элементарных матриц справа налево в том порядке, в каком они использовались. Матрицу записать в виде
, (50)
и подсчитать матрицу
. (51)
3.4. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме
Если матрица H с элементами из поля P приводится к жордановой нормальной форме, т.е. подобна жордановой матрице, то, как следует из доказанной выше теоремы, жорданова нормальная форма определяется для матрицы H однозначно с точностью до расположения жордановых клеток на главной диагонали. Условие для того, чтобы матрица H допускала такое приведение, указывается в следующей теореме, доказательство которой дает одновременно практический способ для разыскания жордановой матрицы, подобной матрице H, если такая жорданова матрица существует. При этом заметим, что приводимость в поле P означает, что все элементы трансформирующей матрицы содержатся в поле P.
ТЕОРЕМА 4. Матрица H с элементами из поля P тогда и только тогда приводится в поле P к жордановой нормальной форме, если характеристические корни матрицы H лежат в самом основном поле P.
Доказательство. В самом деле, если матрица H подобна жордановой матрице J, то эти две матрицы обладают одними и теми же характеристическими корнями. Характеристические корни матрицы J находятся, однако, без всяких затруднений: так как определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали, то многочлен разлагается над полем P на линейные множители и его корнями служат числа, стоящие на главной диагонали матрицы J, и только они.
Обратно, пусть все характеристические корни матрицы H лежат в самом поле P. Если отличные от 1 инвариантные множители матрицы будут
то
Действительно, определители матрицы и ее канонической матрицы могут отличаться друг от друга лишь постоянными множителем, который на самом деле равен , так как именно таков старший коэффициент характеристического многочлена . Таким образом, среди многочленов (52) нет равных нулю, сумма степеней этих многочленов равна n и все они разлагаются над полем P на линейные множители – последнее ввиду того, что, по условию, многочлен обладает таким разложением.
Пусть (23) будут разложения многочленов (52) в произведения степеней линейных множителей. Назовем элементарными делителями многочлена , , отличные от единицы степени различных линейных двучленов, входящие в его разложение (23), т.е.
Элементарные делители всех многочленов (52) назовем элементарными делителями матрицы H и выпишем их в виде таблицы (22).
Возьмем теперь жорданову матрицу J порядка n, составленную из жордановых клеток, определяемых следующим образом: каждому элементарному делителю матрицы H ставим в соответствие жорданову клетку порядка , относительными множителями матрицы, относящуюся к числу . Очевидно, что отличными от 1 инвариантными множителями матрицы будут многочлены (52) и только они. Поэтому матрицы и эквивалентны и, следовательно, матрица H подобна жордановой матрице J.
На
основании предшествующих результатов
может быть доказано, наконец, следующее
необходимое и достаточное
Матрица H порядка n с элементами из поля P тогда и только тогда приводится к диагональному виду, если все корни последнего инвариантного множителя ее характеристической матрицы лежат в поле P, причем среди этих корней нет кратных.
В самом деле, приводимость матрицы к диагональному виду равносильна приводимости к такому жорданову виду, все жордановы клетки которого имеют порядок 1. Иными словами, все элементарные делители матрицы H должны быть многочленами первой степени. Так как, однако, все инвариантные множители матрицы являются делителями многочлена , то последнее условие равносильно тому, что все элементарные делители многочлена имеют степень 1.
3.5. Решение задач
Задача 1. Для матрицы
построить жорданову матрицу J и матрицу T, приводящую H к J в поле R.
Решение. Будем считать, что в четырехмерном пространстве в некотором фиксированном базисе матрица H определяет линейный оператор h, и построим в пространстве жорданов базис этого оператора. Для этого сначала найдем характеристический многочлен
Он имеет лишь один корень кратности . Следовательно, пространство является корневым по .
Составим матрицу и будем возводить ее в степени до тех пор, пока не получится равенство .
При
, .
При
, .
При
, .
Следовательно, в пространстве жордановы цепочки имеют наибольшую длину .
Найдем подпространство собственных векторов матрицы H по . Для этого рассмотрим систему , т.е. систему
Одну из фундаментальных систем решений этой системы уравнений составляют векторы-решения , . Поэтому .
Найдем далее
Одним из решений этой системы является , , , , , .
Поэтому , . Жорданова цепочка векторов еще не дает базиса в корневом пространстве . Поэтому перейдем к рассмотрению подпространства
,
где - подпространство столбцов матрицы . Так как ранг матрицы равен двум, то порождается двумя его линейно независимыми столбцами, например, столбцами
Таким образом, , , где , , , . Для отыскания базиса составим векторное равенство
и перейдем от него к покоординатным равенствам. Тогда получим систему
Одну из фундаментальных систем решений этой системы уравнений составляет, например, решение
, , , .
Поэтому и .
Подпространство совпало с уже рассмотренным подпространством . Поэтому следует перейти к подпространству
Выберем в базис, начинающийся с . Очевидно, что . Поэтому за следует принять .
, , , .
В этом базисе матрица H имеет жорданову форму
причем матрицей, приводящей H к J, является матрица
Задача 2. Для матрицы
построить жорданову матрицу J.
Решение. Характеристический многочлен
имеет корень кратности и корень кратности .
При имеем
, ,
, ,
, .
Следовательно, наибольший порядок жордановых клеток по равен и по формуле (4.26) находим
,
.
Поэтому в жордановой матрице J для матрицы H будет по всего лишь одна жорданова клетка
При имеем
, ,
, .
Поэтому в жордановой матрице J для матрицы H по будет всего жордановых клеток порядка 1.
Из полученных жордановых клеток составляем жорданову матрицу