Построение жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. Жорданова нормальная форма матрицы

     Введение

     Для произвольной квадратной матрицы H над алгебраически замкнутым полем P всегда существует такая квадратная матрица C над P , что является жордановой матрицей.

     Матрица  , называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы и имеет вид:

                                      .

     Будут рассмотрены основные понятия и  теоремы жордановой матрицы.

     Целью курсовой работы является ознакомление с понятием жордановой формы матрицы, способами получения, построения жорданова базиса и жордановой матрицы и приведение жордановой матрицы к нормальной форме.

     Данная  курсовая работа содержит 3 параграфа.

     В §1 рассматриваются пять пунктов. В п 1.1. приводится алгоритм нахождения собственного значения и собственного вектора оператора. Исходя из этого пункта, переходят к рассмотрению п 1.2., где даны понятия алгебраической и геометрической кратности собственного значения . Далее следует п 1.3.. В нем даны понятия жордановой формы матрицы и жорданова базиса. В пп 1.4. и 1.5. приведены алгоритмы нахождения жорданова базиса и жордановой формы.

     В §2 рассматриваются 3 пункта. В первых двух пунктах (2.1. и 2.2.) раскрывается тема характеристической матрицы, которая используется при нахождении жордановой матрицы. В п 2.3. даются несколько свойств: количество и размер жордановых клеток (приведен пример).

     В последнем §3 рассмотрены способы построения жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. В этих способах предложены 5 правил построения. П 3.4. посвящен приведению матрицы к жордановой нормальной форме. Дана теорема о приведении матрицы H в поле P к жордановой нормальной форме.

     Приведенный материал иллюстрируется в решениях различных задач, которые даются в п 3.5. §3.

     Для данной курсовой работы были использованы 7 источников литературы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     §1. Собственные векторы и собственные значения оператора. Жорданова форма матрицы и жорданов базис 

     1.1. Алгоритм нахождения собственного значения и собственного вектора оператора

           Рассмотрим линейный оператор h в пространстве и пусть H – матрица этого оператора в некотором базисе , .

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. называется характеристи-ческим многочленом матрицы (E – единичная матрица порядка n).

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Вектор называется собственным вектором оператора h, если , а – собственным значением оператора h, соответствующим собственному вектору .

     1) Найдем все корни характеристического  многочлена , получим – спектр оператора (множество всех собственных значений);

     2)  подставим в систему

                                                  ,                                     (1)

     решим ее и найдем все собственные векторы, отвечающие собственному значению , затем подставим и так далее.

     1.2. Алгебраическая и  геометрическая кратности  собственного значения

           ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Кратность корня в характеристическом многочлене называется алгебраической кратностью собственного значения .

           ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Геометрической кратностью собственного значения  называется размерность собственного подпространства оператора h

                                       .                                   (2)

     Утверждение. , где n – порядок матрицы оператора h. (см.[5], стр.3)

     ТЕОРЕМА 1. Оператор h  в базисе  имеет диагональную матрицу H в том и только том случае, когда базисные векторы  ( ) – собственные. (см.[5], стр.3)

     1.3. Жорданова форма матрицы и жорданов базис

     Жорданова матрица – квадратная блочно-диагональная матрица над полем P, с блоками вида

                                              .                            (3)

     Блок  называется жордановой клеткой с собственным значением .

     Для произвольной квадратной матрицы  над алгебраически замкнутым полем P всегда существует такая квадратная невырожденная матрица над P, что является жордановой матрицей (иначе говоря, сопряжена в P некоторой жордановой матрице).

     Матрица  , указанная выше, называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы . Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над P в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Жордановой клеткой порядка m, относящейся к числу  , называется матрица порядка m, , имеющая вид:

                                                    .                                (4)

     Иными словами, на ее главной диагонали стоит одно и то же собственное значение из поля P; параллель, ближайшая к главной диагонали сверху, сплошь занята числом 1, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Так,

                                                                              (5)

будут соответственно жордановыми клетками первого, второго и третьего порядков.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Жордановой матрицей порядка k называется матрица порядка k, имеющая вид

                                              ,                          (6)

здесь вдоль главной диагонали идут жордановы клетки некоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некоторым числам из поля P, также не обязательно различным; все места вне этих клеток заняты нулями. При этом , т.е. одна жорданова клетка порядка n принадлежит к числу жордановых матриц этого порядка, и, понятно, .

     Ниже  представлена жорданова матрица, состоящая из трех жордановых клеток:

     - размер 1, отвечающая собственному  значению  ;

     - размер 2, отвечающая собственному  значению  ;

     - размер 3, отвечающая собственному  значению  .

                                              .

           Заметим, хотя это  и не будет дальше использоваться, что строение жордановой матрицы  можно было бы описать, не прибегая к понятию жордановой клетки. Очевидно, именно, что матрица  будет жордановой матрицей тогда и только тогда, если она имеет вид

                                                ,                                  (7)

     где , , – произвольные числа из поля P, а каждое , , равно единице или нулю, причем, если , то .

     Диагональные  матрицы являются частным случаем  жордановых матриц: это будут в точности те жордановы матрицы, у которых все жордановы клетки имеют порядок 1.

     ТЕОРЕМА 2. Для произвольного оператора h :  существует базис пространства  , в котором матрица оператора имеет клеточно-диагональный вид, причем на главной диагонали стоят жордановы клетки вида (4). (см.[5], стр. 4)

     Этот  базис называется жордановым, а данный канонический вид матрицы называется жордановой формой.

     Замечание. Жорданова форма определяется однозначно с точностью до порядка клеток (каждой клетке с   соответствует один собственный вектор).

     1.4. Алгоритм нахождения  жорданова базиса для одной жордановой клетки

           Рассмотрим жорданову  клетку вида (4). По определению матрицы оператора в 1-м столбце стоит вектор , разложенный по базису :

                                        ,                          (8)

поэтому

                                                    .                                  (9)

           Во втором столбце  матрицы находится вектор , разложенный по этому же базису и так далее.

           Таким образом, собственный  вектор находим как решение системы , присоединенный вектор – как решение системы . Очевидно, что

                                        .                     (10)

     Продолжая аналогичные рассуждения, для вектора  получим .

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Вектор называется присоединенным вектором высоты k.

           Жорданов базис  состоит из собственных и присоединенных к ним векторов.

           Утверждение. Алгебраическая кратность собственного значения равна сумме размеров жордановых клеток с этим собственным значением. (см.[5], стр.5)

           Утверждение. Геометрическая кратность собственного значения равна числу клеток в жордановой форме с собственным значением или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению .(см.[5], стр.5)

     1.5. Алгоритм нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матрицы 3-го порядка

           Пусть дана матрица 3-го порядка. Надо найти жорданову  форму и жорданов базис.

1. Пусть характеристический многочлен матрицы H имеет вид

               , где ( ).       (11)

     Тогда жорданова форма матрицы имеет  вид  .

2. Пусть характеристический многочлен матрицы H имеет вид

                                    ,                              (12)

где   ( ). Возможны два случая:

     а) , поэтому и, жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением :  

                                       .

     б) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением : .