Последняя цифра степени

МОУ «Шербакульская средняя  общеобразовательная  школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тема: « Последняя цифра  степени.» 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева  Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л. 
 

р.п. Шербакуль 

2010 – 2011 уч. год

Содержание: 
 
 
 

• Введение.

 

• Цели работы.

 

• Последняя цифра степени.

 

• Закономерности  возведения в степень

 

• Две последних цифры  степени.

 

• Задачи.

 

• Заключение.

 

•   Использованная литература .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение. 

     Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

1¹⁹⁸⁹ + 2¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁸⁹ + 4¹⁹⁸⁹ + 5¹⁹⁸⁹ +…+ 1989¹⁹⁸⁹.

     Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать… 
 
 
 
 

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени? 
 
 
 

Цели  работы: 

• Узнать, можно  ли построить таблицу последних  цифр различных степеней.
• Найти закономерность в них.
• Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Последняя цифра степени. 

    Приведем  небольшое исследование: выясним  есть ли какая-нибудь закономерность  в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу: 

 

    Мы  видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n.

    В  самом деле, возьмем число 2¹⁰⁰. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴, 2⁸, 2¹², показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

    Возьмем к примеру, 2²², если проверить, просто посчитав, то получится  4194304 – последняя цифра 4.

    Теперь  попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

    А  теперь посмотрим, можно ли  составить таблицы для остальных  чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось  составить таблицу для всех  чисел от 1 до 10, а далее будет  повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5. 

Закономерности  возведения в степень: 

• Запись  числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
• Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
• При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
• Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
• Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

 
 

Две последних цифры  степени. 

    Мы теперь знаем,  что последняя цифра рано или  поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

   (Красным  кругом выделен период)

    Заметим,  что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так  как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

    К  сожалению, с 2-мя последними  цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.