Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды

"justify">      Для этого рассчитаем среднее значение ряда и его среднее квадратическое отклонение (функции СРЗНАЧ и СТАНДОТКЛОН).

      Пользуясь свойством копирования ячеек  рассчитаем данные параметры для всех полученных столбцов в конце таблицы. Для удобства скопируем заголовок таблицы, и, разместить его в последней строке. Рисунок 4.7).

Рисунок 4.7

      Под ячейкой переменная х1 таблицы ВЫВОД ИТОГОВ сформируем заголовок переменная b0 (Рисунок 4.8). В соседнюю ячейку введем формулу расчета b0.

Рисунок 4.8

      4.3.2.5. Оценим сущность полученной модели  a0, a1, a2.

      -дадим  заключение о нулевой гипотезе,

      -построим  доверительные интервалы для  коэффициентов модели a0, a1, a2

      4.3.2.6. Сопоставим идентифицированные  значения коэффициентов модели  с заданными.

      4.3.2.7. Введем столбец прогноза ряда (Рисунок 2.6), в котором прогнозируемые значения ряда в момент времени t+1 вычисляются в момент времени t по формуле:

, где

      a0, a1, a2 - идентифицированные значения коэффициентов модели, соответственно, «Y-пересечение», «Переменная Х1», «Переменная Х2».

      Для этого в ячейку f(2) введем данную формулу. При этом ссылки на ячейки со значениями a0, a1, a2 («Y-пересечение», «Переменная Х1», «Переменная Х2») должны быть абсолютными.

Рисунок 4.9

      4.3.2.8. Построим график изменения временного  ряда и прогноза для первых (начиная с момента времени t=2) 25-35 значений (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

      4.3.2.9. Получим столбец ошибок прогноза (начиная с момента времени  t=2) f^*(t)-f(t).

      4.3.2.10. Получим автокорреляционную функцию  ошибки прогноза.

      Для этого выделим ячейки для аргумента  k автокорреляционной функции и самой функции r(k).

      Замечание: при включенном режиме (Сервис\параметры\вычисления) Автоматически или в режиме Вручную и при нажатии клавиши F9 весь лист пересчитывается заново. В этой связи все моделируемые, а следовательно и рассчитываемые по формулам переменные изменяются.

      Введем  значения аргумента k (от 0 до 30) (Рисунок 2.7).

Рисунок 4.11

      Для получения автокорреляционной функции  в ячейку, соответствующей r(0) вставить формулу расчета коэффициента корреляции (категория статистические, функция КОРРЕЛ):

      «=КОРРЕЛ(I22:I389;I22:I389)»

      В качестве массива 1 и массива 2 используется один и тот же массив ошибок. Обратим внимание на то, что вводимые массивы ошибок на 30 (от t=0 до t=370) данных меньше чем полный массив моделирования (от t=0 до t=400).

      Это связано с тем, что нам необходимо получить значения коэффициента корреляции между массивами f(t) и f(t+k), где k изменяется от 0 до 30. Значения же f(371+30) не существует.

      После нажатия на клавишу «Ввод» получаем значение автокорреляционной функции  для k=0, равное единице.

      Для получения автокорреляционной функции  для k=1.2,3,…30 необходимо изменять адреса второго массива последовательно на единицу,

      Для этого необходимо в формуле расчета  коэффициента корреляции r(0) ссылки на первый массив сделаем абсолютными, т.е. с помощью клавиши «F4» запишем как: «=КОРРЕЛ($I$22:$I$389;I22:I389)»

      После этого скопируем данную формулу  для всех k=1.2,3,…30 (Рисунок 4.12).

Рисунок 4.12

      Получим график автокоррелфяционной функции  и сделаем заключение о качестве полученной модели прогноза (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

      4.4. Идентификация  временного ряда методом Юла-Уокера.

      4.4.1. Основные положения  идентификации:

      Как было показано, модель авторегрессии  АР (p) имеет вид:

   (4.26)

      Домножим  левую и правую части на f(t-k):

      Применим  оператор среднего к левой и правой частям:

.

      Учитывая  свойство линейности оператора среднего (оператор от суммы равен сумме  оператором и оператор от постоянной, умноженной на случайную величину равен  постоянной, умноженной на оператор от случайной величины) получаем:

      Разделив  левую и правую части на дисперсию  временного ряда получаем:

      Исходя  из определения коэффициента автокорреляции центрированной случайной величины:

      и учитывая, что коэффициент корреляции временного ряда f_t-k с белым шумом n_t равен нулю получаем:

   (4.27)

      Подставив в данное выражение последовательно  k=1,2,3,…,p получаем систему уравнений:

      Учитывая, что

      и то, что автокорреляционная функция  четная

      получаем:

      Данная  система уравнений в векторной  форме имеет вид:

, где     (2.28)

, , 

      Вектор  R и матрица P состоят из коэффициентов автокорреляции, которые вычисляются известным значениям временного ряда.

      Вектор  А, представляющий неизвестные коэффициенты модели (которые и подлежат идентификации) может быть определен из уравнения (4.28) как:

      Данное  уравнение носит название уравнения  Юла-Уокера

      4.4.2. Последовательность  выполнения:

      4.4.2.1. Сделаем копию листа и озаглавим  его «Идентификация Юл-Уокер».

      4.4.2.2. Удалим промежуточные и выходные  результаты идентификации методом  наименьших квадратов.

      Для этого очистить ячейки с результатами идентификации МНК с помощью Пакета анализа Регрессия и восстановить свойства их границ.

      Удалим  четыре столбца нового листа: «прогноз f*(t+1)», «ошибка прогноза - f*(t)- f(t)», «k», «автокорреляционную функцию ошибки прогноза - r(k)».

      4.4.2.3. Получим необходимые значения  коэффициентов корреляции.

      Вектор  R и матрица R уравнения Юла-Уокера:

      для авторегрессионной модели 2-го порядка имеют вид:

      Следовательно, получим значения коэффициентов  автокорреляции временного ряда ρ₁, ρ₂. Аналогично, как вычислялась выше автокорреляционная функция для ошибки прогнозирования, получим значения автокорреляционного ряда f(t) (Рисунок 4.14).

Рисунок 4.14

      4.4.2.4. Сформируем вектор R и матрицу P уравнения Юла-Уокера (Рисунок 4.15)

Рисунок 4.15

      4.4.2.5. Получим обратную матрицу  P^-1 (функция МОБР) (Рисунок 4.16).

      4.4.2.6. Получим вектор А (функция МУМНОЖ) (Рисунок 4.16).

Рисунок 4.16

      4.4.2.7. Сопоставим идентифицированные  параметры временного ряда с  заданными:

      4.5. Анализ временных  рядов для реальных экономических показателей.

      Установлена зависимость прибыли предприятия у (млн.руб.) от цен на сырье х₁ (тыс. руб. за 1т) и производительности труда х₂ (ед. продукции на 1 рабочее место). На основании наблюдений составлена таблица:

Рисунок 4.17

      Проведем идентификацию с помощью «Пакета анализа - Регрессия» ППП Excel.

Рисунок 4.18

      Из  полученных данных видим, R-квадрат свидетельствует о невысокой точности данной модели. Хотя множественный R говорит о существовании слабой связи между показателями. Причем х₂ является более значимым для данной зависимости у от х₁ и х₂. На тесноту связей могут также оказывать другие факторы, которые не внесены в таблицу наблюдений. Поэтому требуется провести дополнительные наблюдения и проанализировать модель.

 

Список использованЫХ ИСТОЧНИКОВ 

      1. Эконометрика: Учебник / Под ред.  И.И.Елисеевой. - М: Финансы и статистика, 2004. - 344 с.: ил.

      2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И.Елисеева, С.В.Курышева, Н.М.Гордеенко и др. Под ред.  И.И.Елисеевой. - М: Финансы и статистика, 2004. - 192 с.: ил.

      3. Горшков В.А. Временные ряды. Моделирование,  идентификация, прогноз. - М:, Спутник-плюс, 2006.-145 с.: ил.