Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды

      Остаток - SS –остаточная сумма квадратов отклонений (S_rem).

      Итого SS –общая сумма квадратов отклонений (S_com).

      Регрессия - MS – cредний квадрат отклонений на одну степень свободы, обусловленный регрессией (D_fact).

      Остаток - MS – cредний квадрат отклонений на одну степень свободы, обусловленный регрессией (D_rem).

      Итого - MS – cредний квадрат отклонений на одну степень свободы, обусловленный регрессией (D_com).

      F – F-отношение.

      Значимость F - вероятность принятия нулевой гипотезы (гипотезы об отсутствии связи).

      Y-пересечение  – Коэффициенты – оценка коэффициента  а.

      Переменная  х₁- Коэффициенты - оценка коэффициента b.

      Y-пересечение  (Переменная х₁, х₂) – Стандартная ошибка – СКО оценки коэффициентов а и b.

      Y-пересечение  (Переменная х₁, х₂) – t-статистика – фактические значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов а и b.

      Y-пересечение  (Переменная х₁, х₂) - Р-значения - вероятность принятия нулевой гипотезы относительно коэффициентов регрессии а и b.

      Y-пересечение  (Переменная х₁, х₂) – Нижние (Верхние) 95% - Нижние и верхние доверительные границы для коэффициентов регрессии а и b для доверительной вероятности 0,95 (а=0,05).

      (Экспоненциальная  форма представления числа 1Е-44 эквивалентна записи 1*10-44).

      1.7.1. Сопоставим значения таблицы  «ВЫВОД ИТОГОВ» с рассчитанными вручную и с использованием функции «ЛИНЕЙН».

Рисунок 1.20

      1.8 Анализ регрессии для реальных  экономических показателей

      По  статистическим данным за n-ый год сформирована таблица. Проведем идентификацию и анализ парной линейной регрессии, используя функцию «Линейн» ППП Excel (Рисунок 1.21).

Рисунок 1.21

      На  основе данной таблицы и с помощью  функции «Линейн» ППП Excel получаем следующие  данные (Рисунок 1.22):

Рисунок 1.22

     Из  полученных данных можем вывести  линейное уравнение зависимости  y от x. Оно имеет вид: y=74,999214+0,029281x, т.е. с увеличением выручки на 1 руб., зар.плата будет увеличиваться на 0,029281 в среднем.

     Судя  по значению D=0,443311- связь переменных регрессии умеренная. Причем, 44%- это доля вариации y, объясненная вариацией фактора x, включенного в уравнение, а остальные 56% вариаций приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении.

     Выдвинем  гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a=b=r_xy=0. С помощью таблицы Стьюдента определили, что t_табл для числа степеней свободы d_f=n-2=30-2=28 и а=0,05 составляет 2,0484.

      t_a=74,999214/7,3521127=10,2> t_табл            t_b=0,029281/0,006201=4,72> t_табл

     Исходя  из этого, гипотеза Н_о отклоняется т.е. a и b неслучайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

 

       2. Моделирование и идентификация парной нелинейной регрессии

      2.1. План работы

      В процессе выполнения данной работы необходимо:

      -синтезировать модель Монте-Карло парной нелинейной регрессии (прямая задача).

      -вычислить параметры парной нелинейной регрессии (обратная задача идентификации.

      -оценить существенность параметров линейной регрессии и доверительные интервалы линии регрессии.

      -оценить доверительные интервалы прогноза.

      -составить отчет по работе.

      2.2. Модель Монте-Карло  нелинейной регрессии

      Парная  нелинейная регрессия подразделяется на два вида

      -нелинейная относительно независимой переменной x,

      -нелинейная относительно оцениваемых параметров a и b.

      Примером  первого вида являются уравнения:

             (2.1)

      Примером  второго вида являются степенная и экспоненциальная функции:

       , где      (2.2)

      x - независимая переменная (признак-фактор),

      y - зависимая переменная (результативный признак),

      a, b - параметры модели.

      e - случайное отклонение наблюдаемой зависимой переменной, вызванное влиянием других факторов. Аналогично линейным моделям данная величина распределена по центрированному нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ_е. Задачей идентификации регрессионной модели является по данным реальных наблюдений зависимой (y) и независимой (x) переменной при наличии случайных отклонений (e) оценить параметры регрессионной модели a и b.

      Парная  нелинейная регрессия относительно независимой переменной x легко приводится к линеному виду путем замены переменной (z=x3 – для первого уравнения и z=1/x2 – для второго).

             (2.3)

      Уравнения парной нелинейной регрессия относительно оцениваемых параметров a и b не все приводятся к линейному виду. В данной работе рассматриваются модели, которые могут быть приведены к линейному виду (такие нелинейные модели называются внутренне линейными).

      Степенная и экспоненциальная модели внутренне  линейны, поскольку они могут  быть приведены в линейному виду.

      Так, для степенного уравнения логарифмирование позволяет получить линейную модель в виде:

             (2.4)

      Аналогично  экспоненциальная модель приводится как:

            (2.5)

      Данные  уравнения являются основой статистического  моделирования нелинейной регрессии.

      Значения  параметров для выполнения работы определяется вариантом. Ниже представлена методика выполнения работы для уравнения

             (2.6)

      2.2.1. Последовательность  выполнения работы по моделированию.

      2.2.1.1. Откроем новую книгу и сохраним  ее в своей папке под именем ПНР.xls (Парная Нелинейная Регрессия). Озаглавим лист «Модель».

      2.2.1.2. Сформируем заголовки для исходных  данных модели (Рисунок 2.1)

      - коэффициенты модели a, b;

      - объем наблюдений n;

      - среднее квадратическое отклонение  погрешности СКО_е;

      - математическое ожидание независимой переменной М_х;

      - среднее квадратическое отклонение  независимой переменной СКО_х.

      - значение степени k

      2.2.1.3. Введем значения а, b, k, CKO_e (σ_е), M_x, CKO_x.

Рисунок 2.1

      2.2.1.4. Сформируем заголовки таблицы  модели (Рисунок 2.2).

      2.2.1.5. Выделим ячейки для:

      -расчета  коэффициента корреляции r;

      -индекса  корреляции R.

      -номера  наблюдения i;

      -независимой  переменной x;

      -факторного  значения зависимой переменной  y, определяемой независимой переменной x;

      -ошибки  регрессии (отклонение наблюдаемой независимой величины от фактического значения зависимой переменной y, определяемой независимой переменной x) e;

      -наблюдаемого  значения зависимой переменной (с  учетом ошибки регрессии e) y;

Рисунок 2.2

      2.2.1.6. Введем первый номер наблюдения (i=1).

      2.2.1.7. Смоделируем первое значение  независимой переменной.

      Случайное значение независимой переменной x моделируется аналогично линейной модели.

      2.2.1.8. Рассчитаем теоретическое значение  зависимой переменной.

      Теоретическое значение зависимой переменной определяется формулой:

             (2.7)

      2.2.1.9. Смоделируем ошибку модели.

      Ошибка  модели моделируется аналогично линейной модели.

      2.2.1.10. Рассчитаем фактическое значение  зависимой переменной. Фактическое  значение зависимой переменной рассчитывается как сумма теоретического значения и ошибки.

      2.2.1.11. Смоделируем сто наблюдений.

      Пользуясь средствами копирования содержимого  ячеек в Excel получим 100 наблюдений независимой  и зависимой переменной. В ячейку количества наблюдений n введем 100.

      В отчете представить 10 первых значений (Рисунок 2.3) и построить точечные графики теоретической зависимости и смоделированных фактических наблюдений (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.3

Рисунок 2.4

      2.3. Идентификация модели парной нелинейной регрессии.

      2.3.1. Основные положения:

      Рассматриваемая нелинейная регрессионная модель приводится к линейной путем введения новой  переменной

.

      Процедура идентификации и анализа полученной линейной модели y(z) аналогичена процедуре идентификации и анализа для линейной модели.

      2.3.2. Последовательность  выполнения.

      2.3.2.1. Вводим новую переменную.

      2.3.2.2. Получим столбец 100 значений новой  переменной (Рисунок 2.5).