Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды

Рисунок 2.5

      Таким образом, задача свелась к линейной модели

      2.3.2.3. Для определения параметров  a и b применить функцию «Линейн» («LINEST») ППП Excel, для чего выделить массив ячеек 2х5 (Рисунок 2.6).

Рисунок 2.6

      2.3.2.4. Аналогично, как это делалось для линейной модели вводим формулу массива.

      В ячейках формулы массива (Рисунок 2.6) возвращаемые переменные расположены  в соответствии с таблицей, представленной в разделе парной линейной регрессии.

      2.3.2.5. Сопоставим идентифицированные  значения коэффициентов модели с заданными.

      Посредством нажатия на клавишу F9 (при нажатии  которой происходит новая генерация  случайных чисел) пронаблюдать за изменением идентифицируемой линий регрессии  из-за вариации рассчитанных коэффициентов  a и b.

      2.3.2.6. Видно, что при увеличении коэффициента a, коэффициент b уменьшается. Идентификационная линия регрессии с уменьшением коэффициента a приближается к теоретической линий данной регрессии.

      Заключение  о принятии нулевой гипотезы, построение доверительных интервалов линии регрессии y(z) и прогноза строятся аналогично, как это делалось выше для линейной модели (в рамках данной работы это разрешается не проводить).

      2.3.2.7. Построим точечные графики зависимости  теоретической и идентифицируемой  линий регрессии.

      Для этого необходимо преобразовать полученные зависимости от z в зависимости от x и получить столбец значений y (Рисунок 2.7).

Рисунок 2.7

      В качестве параметров a и b используются идентифицированные с помощью функции «Линейн» значения.

      2.3.2.8. С помощью мастера диаграмм построим теоретическую и идентифицированную линии регрессии (Рисунок 2.10).

      2.3.2.9. Построим доверительные интервалы прогноза.

      Доверительные интервалы прогноза определяются как:

, где

       - теоретическое идентифицированная нелинейная линия регрессии (на странице Excel – yт),

       - табличное значение коэффициента  Стъюдента для доверительной  вероятности α=0,05,

       - Стандартное отклонение наблюдаемых  значений независимой переменной от линии регрессии (2-й столбец,3-я строка возвращаемой таблицы функции «ЛИНЕЙН»).

      Табличное значение коэффициента Стъюдента (tinv) для рассматриваемого примера (Рисунок 2.8):

Рисунок 2.8

      Получим график с нелинейной регрессией и  доверительными интервалами прогноза (Рисунок 2.9).

Рисунок 2.9

      2.3.2.10. Генерируя различные случайные  последовательности и изменяя  СКО_e получим различные теоретические и идентифицированные линии регрессии (Рисунок 2.10, Рисунок 2.11).

Рисунок 2.10

Рисунок 2.11

      2.3.2.11. Из полученных линий регрессии видим, что в нашем случае (при первоначально заданной CKO_e=3) связь параметров a и b была достаточно сильной. Поэтому при генерации различных случайных последовательностей теоретические и идентифицированные линии регрессии практически не отличаются друг от друга. При увеличении CKO_e (CKO_e=500) появляются значимые различия между линиями, а в некоторых случаях связь близка к разрыву.

     2.4. Анализ нелинейной регрессии для реальных экономических показателей.

     Исследуем зависимость общих расходов предприятия от объема производства.

     Дана  таблица наблюдений:

Рисунок 2.12

     Исследуем данную зависимость при заданном уравнении y= bx^k+a+e и k=0.5.

     Получим средние значения по столбцам, а  так же значения XY и X^2.

     Вычислим  значения a и b:

     b= (срXY-срX*срY)/(срX^2-(срX)^2))

     a=срY-b*срX .

     Формула для вычисления Y_теор имеет вид: Y_теор=b*x+a.

     Рассчитаем  средний квадрат отклонения (Y-Y_теор)^2, а так же для приведения нелинейного уравнения к линейному введем и рассчитаем новую переменную Z=X^k.

Рисунок 2.13

     При помощи функции «Линейн» проведем анализ полученных данных:

Рисунок 2.14

     Графически  данная зависимость имеет вид:

Рисунок 2.15

 

       3. Моделирование  и идентификация  множественной линейной  регрессии

      3.1. План работы

      -в  процессе выполнения данной работы необходимо

      -синтезировать  модель Монте-Карло множественной  линейной регрессии (прямая задача).

      -вычислить  параметры множественной линейной  регрессии (обратная задача идентификации).

      -составить  отчет по работе.

      3.2. Модель Монте-Карло  множественной линейной регрессии (прямая задача)

      Уравнение множественной линейной регрессии.

      Множественная линейная регрессия имеет вид

, где    (3.1)

      x₁, x₂, x₃, …, x_k, - независимые переменные,

      y - зависимая переменная,

      a,b₁, b₂, b₃,…, b_k- параметры модели.

      В реальности на данную связь оказывает  влияние множество других неконтролируемых факторов, в связи с чем данная связь представляется как:

, где    (3.2)

      e - случайное отклонение наблюдаемой зависимой переменной, вызванное влиянием других факторов. Уравнение (3.1) является основой статистического моделирования уравнения регрессии.

      В рамках данной работы будет моделироваться и идентифицироваться модель третьего порядка:

      3.2.1. Последовательность выполнения работы по моделированию.

      Откроем новую книгу. Cохраним книгу в своей папке под именем МЛР. Xls (Множественная Линейная Регрессия).

      Для данной задачи рекомендуется отменить режим автоматического пересчета  листа. Для этого необходимо в  «Сервис»\ «Параметры»\ «Вычисления» установить режим «вручную».

      3.2.1.2. Сформируем заголовки для исходных  данных модели (Рисунок 1.1):

      - коэффициенты модели, a,b₁, b₂, b₃,…, b_k;

      - среднее квадратическое отклонение  погрешности СКО_е;

      - математическое ожидание независимых переменных М_х1, М_х2, М_х3,;

      - среднее квадратическое отклонение  независимых переменных СКО_х1, СКО_х2, СКО_х3,

      Ввести  значения а, b₁, b₂, b₃, CKO_e (σ_е), М_х1, М_х2, М_х3,СКО_х1, СКО_х2, СКО_х3, согласно варианту контрольной работы.

      3.2.1.3. СКО_е задать равным нулю.

Рисунок 3.1

      3.2.1.4. Сформируем заголовки таблицы  модели (Рисунок 3.1).

      Выделим ячейки для:

      i – номер наблюдения,

      1 – единичный вектор (будет рассмотрен ниже),

      х₁, х₂, х₃ - значения переменных x₁, x₂, x₃,

      е – значение ошибки в текущем наблюдении e,

      y – моделируемое факторное значения зависимой переменной y, определяемое независимыми переменными x₁, x₂, x₃ и ошибкой e.

      3.2.1.5. Моделирование двадцати наблюдения (Рисунок 3.2 (показаны первые 4 наблюдения))

Рисунок 3.2

      Колонка единичного вектора заполняется единицами.

      Случайные значения независимых переменных x₁, x₂, x₃– моделируются аналогично предыдущему по формуле

, где      (3.3)

      Z - центрированная и нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону (MZ=0, σZ=1),

      M_x, σ_x - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение независимой переменной.

      Центрированная  и нормированная случайная величина моделируется на основании центральной  предельной теоремы путем 12-ти кратного сложения равномерно распределенных случайных чисел R_i в диапазоне (0,1].

      (3.4)

      Синтаксис функцией, возвращаемой случайное число, равномерно распределенное в диапазоне (0,1], имеет вид:

      R=слчис().

      Для моделирования независимой переменной необходимо в ячейку, где моделируется переменная x необходимо ввести формулу:

      «=(слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()-6)*[ σx]+ [Mx]», где

      [Mx] и [σx] - соответственно адреса ячеек, где заданы математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение независимой переменной (ссылки на данные ячейки должны быть абсолютными).