Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды

      a_i b_i – коэффициенты модели,

      n_t, n_t-1,…, n_t-k – значения случайного центрированного (математическое ожидание равно нулю) и нормированного (среднее квадратическое отклонение равно единице) импульса типа «белый шум» в моменты времени t, t-1, t-2,…,t-k.

      Коэффициент a₀ определяет (но не равен ему) среднее значение ряда (но не равен ему).

      Анализ  временных рядов удобно производить  с помощью дискретного преобразования Лапласа или z-преобразования (основанным на гармоническом разложении Фурье и преобразовании Фурье). Таблица 4.1 представляет весьма простые формулы для преобразования временного ряда, представленного во временной области, в ряд в терминах z-преобразования и обратно.

Таблица 4.1.

      Преимущество  рассмотрения временных рядов в области z-преобразования по сравнению с их анализом во временной области заключается в понижении «сложности» математических действий. Так операции дифференцирования, интегрирования, умножения, деления во временной области в z-пространстве заменяются на операции умножения, деления, сложения, вычитания, соответственно.

      Значительным  преимуществом представления временных  рядов в z-пространстве является то, что это позволяет проводить математические действия над ними (складывать, вычитать, умножать, делить).

      Без нарушения общности для простоты положим, что коэффициент a₀ равен нулю.

      На  основании формул в данной таблице  временной ряд (4.1) в терминах z-преобразования (с учетом равенства нулю коэффициента a₀) будет выглядеть как:

   (4.2)

      Преобразуя данное выражение (вынося за скобки) f(z) и n(z) получаем;

,

      Откуда:

      Полином:

    (4.3)

      определяет  «авторегрессионную» составляющую модели.

      Полином:

     (4.4)

      представляет  собой составляющую «скользящее  среднее».

      Уравнение:

    (4.5)

      называется  характеристическим уравнением.

      Корни данного уравнения полностью  описывают поведение временного ряда. Для стационарных процессов  все корни характеристического уравнения должны быть по модулю меньше единицы

      Если  корни характеристического уравнения  комплексно-сопряженными, то во временном  ряду имеет место гармоническая  составляющая.

      В данной контрольной работе рассматривается модель авторегрессии 2-го порядка АРСС(2,0) или АР (2).

      Соответственно  модель авторегрессии 2-го порядка во временной области будет иметь  вид

,     (4.6)

      а в z-преобразовании:

     (4.7)

      Характер  временного ряда определяется корнями характеристического уравнения:

      (4.8)

      Домножим  левую и правую части на z² и получим квадратное уравнение:

      (4.9)

      Корни характеристического уравнения  определяются как:

      (4.10)

      По  определению корней уравнения имеем:

      (4.11)

      или:

     (4.12)

      Сопоставляя данное уравнение с (4.9) находим коэффициенты модели:

      (4.13)

      Пусть корни характеристического уравнения  комплексно-сопряженные:

, где     (4.14)

      Re, Im – действительная и мнимая части корней характеристического уравнения, соответственно.

      Тогда на основании уравнения (4.13) получаем:

, где (4.15)

      М – модуль корней характеристического уравнения

      Рисунок 4.1 представляет единичный круг с комплексно-сопряженными корнями.

      Для стационарного временного ряда все  корни характеристического уравнения  находятся внутри единичного круга (Рисунок 4.1).

     (4.16)

Рисунок 4.1

      Из  этого условия вытекают ограничения  на коэффициенты а₁, а_2:

      (4.17)

      Аргумент φ определяется как:

      (4.18)

      Период  временного ряда определяется отношением:

      (4.19)

      При a₀=0 среднее значение ряда равно нулю. При a₀≠0 среднее значение временного ряда определяется как:

    (4.20)

      Дисперсия ряда определяется как:

    (4.21)

      Уравнение (4.6) является основой статистического моделирования временного ряда.

      4.2.1. Последовательность  выполнения работы по моделированию.

      4.2.1.1. Откроем новую книгу и сохраним  ее в своей папке под именем  ВР. xls (Временной ряд). Озаглавим лист «Модель».

      4.2.1.2. Сформируем заголовки для исходных данных модели (Рисунок 4.2):

      -действительные, мнимые части, модуль и аргумент  корней характеристического уравнения  Re, Im, M, arctgφ;

      -период  Т;

      -коэффициенты  модели a0, a1, a2, b0;

      -среднего  значения и среднего квадратического  отклонение ряда;

      4.2.1.3. Введем значения Re, Im, a0, b0, соответствующие варианту контрольной работы.

      4.2.1.4. Вычислим значения a1, a2, M², M, arctgφ,T (Рисунок 4.2).

Рисунок 4.2

      4.2.1.5. Сформируем заголовки таблицы  модели временного ряда (Рисунок  4.3).

Рисунок 4.3

      4.2.1.6. Введем первые 4 номера наблюдений (t=1,2,3).

      4.2.1.7. Смоделируем 4 значения случайного  центрированного импульса n(t).

      (математическое  ожидание случайного импульса  Mn=0 и среднее квадратическое отклонение случайного импульса СКО n=1)

      Для этого аналогично, как моделировалась погрешность в предыдущих работах, в соответствующие ячейки необходимо ввести формулу:

      «=(слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()+слчис()-6»

      4.2.1.8. Смоделируем первые 4 значения временного ряда от математического ожидания.

      В момент времени t=0 значения f(t-1) и f(t-2) не определены, а для момента времени t=1 не определено значение f(t-2). Поэтому данные значения ряда могут быть определены через средние значения (математические ожидания ряда).

     (4.22)

      Для момента времени t=2,3,4,… предыдущие значения временного ряда определены и, следовательно, в момент времени t=2 вводится формула, которая с учетом необходимости абсолютных ссылок на коэффициенты модели имеет вид (для данного расположения таблицы и исходных данных на листе Excel): «=$D$9*D16+$D$10*D15+$D$11*C17».

      Выделяя последние 2 строки (для автоматического  изменения значения времени) полученной таблице копировать моделируемое значения временного ряда до момента времени t=400 (Рисунок 4.3 представляет лишь первые 4 значения).

      4.2.1.9. Построить графики временного  ряда f(t) (Рисунок 4.4).

Рисунок 4.4

      4.3. Идентификация  модели временного ряда методом  наименьших квадратов.

      4.3.1. Основные положения:

      Целью идентификации является оценка параметров a0, a1, a2, b0 по наблюдаемым (смоделированным) значениям, т.е. уравнению ряда:

    (4.23)

      можно поставить в соответствие уравнение  множественной регрессии:

, где     (4.24)

      x₁=f_t-1 , x₁=f_t-1, e=b₀n_t

      В этом случае параметры a0, a1, a2 могут быть определены методом наименьших квадратов, как это проводилось при идентификации множественной регрессии.

      Параметр  b0 определяется на основе дисперсии временного ряда (4.21),

    (4.25)

      4.3.2. Последовательность  выполнения:

      4.3.2.1. Сделаем копию листа и озаглавим  его «Идентификация МНК».

      4.3.2.2. Добавим столбцы со значениями  f(t-1) и f(t-2) (Рисунок 4.5).

Рисунок 4.5

      4.3.2.3. Проведем идентификацию методом наименьших квадратов (с помощью «Пакета анализа - Регрессия» ППП Excel)

      Идентификация с помощью «Пакета анализа - Регрессия» ППП Excel аналогична процедуре идентификации  множественной регрессии. В качестве входного интервала Y вводим столбец f(t), входного интервала Х – два столбца f(t-1) и f(t-2). Установим «флаг» на выходной интервал, зададим адрес пустой ячейки справа оставив 3 пустых столбца от столбца f(t-2) и нажав на клавишу ОК получим результаты идентификации (Рисунок 4.6).

Рисунок 4.6

      4.3.2.4. Оценим значение b0 по формуле 4.25.