Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды

      Аналогично  моделируется ошибка в текущем наблюдении e,

      Факторное значения зависимой переменной y, определяемое независимыми переменными x₁, x₂, x₃ и ошибкой e вычисляется по формуле (3.2).

      3.2.1.6. Задав СКО_е=0 (М_е=0) построим точечные графики зависимости у(х₁), у(х₂), у(х₃) (Рисунок 3.3).

Рисунок 3.3

      3.2.1.7. При СКО_е=0 имеем отсутствие линейной связи y(x). Это объясняется тем, что внутри рассматриваемых случаев случайная природа образования зависимости имеет место существовать.

      3.3. Идентификация  модели множественной линейной  регрессии

      3.3.1. Основные положения  процедуры идентификации параметров  множественной линейной регрессии

      Задачей идентификации и является нахождение таких значений a, b₁, b₂, b₃, при которых сумма квадратов ошибки будет минимальна

   (3.5)

      На  основании смоделированных значений наблюдений мы имеем следующую систему  уравнений:

     (3.6)

      Где верхний индекс обозначает номер  моделируемого наблюдения.

      Если  ввести следующие векторы и матрицу  как:

,   (3.7)

      то  система уравнений может быть записана в векторной форме:

      (3.8)

      Условие минимума квадрата ошибки в векторной  форме будет иметь вид:

     (3.9)

      Данный  минимум обеспечивается при условии  равенства нулю производной:

 где    (3.10) 

      Х^Т - транспонированная матрица Х.

      Раскрывая скобки получаем:

     (3.11)

      Откуда  вектор параметров модели будет определяться как:

     (3.12)

      3.3.2. Последовательность  выполнения работы:

      Для расчета элементов вектора В (состоящего из значений коэффициентов регрессионной модели) необходимо последовательно получим:

      - транспонированную матрицу - Х^Т,

      - произведение - ХХ^Т,

      - обратную матрицу – (ХХ^Т)^-1,

      - произведение - (ХХ^Т)^-1 Х^Т,

      - произведение - (ХХ^Т)^-1 Х^ТY,

      3.3.2.1. Получим транспонированную матрицу Х^Т.

      Транспонированная матрица получается путем замены срок на столбцы,

      Для получения транспонированной матрицы  необходимо:

      -выделим  исходную матрицу

      -кликнем  по кнопке «Копирование»,

      -кликнем  на ячейку, в которой необходимо разместить транспонированную матрицу (20 столбов вправо и 5 строк вниз от нее ячейки должны быть свободными),

      -выполним  команду «Правка>Специальная вставкa». Поставим флажок «Транспонирование» и нажмем на клавишу ОК.

      На  рабочем поле появилась транспонированная матрица (Рисунок 3.4 - приводим лишь первые столбцы).

Рисунок 3.4

      Убедимся, что процедура транспонирования произведена правильно.

      3.3.2.2. Получим произведение матриц  ХХ^Т.

      Произведение  матрицы Х размерностью (20х4) на матрицу Х^Т размерностью (4х20) будет матрица размерностью (4х4).

      В этой связи выделим область ячеек 4х4 и введем в них формулу массива  умножения матриц «Мунож» (категория «математические»).

      В раскрывшемся диалоговом окне (Рисунок 3.5) введем адреса умножаемых массивов.

      После чего кликнем по кнопке «ОК», нажмем на клавишу F2 или активизируем строку формул и удерживая клавиши <Shift> и <Ctrl> нажмем на клавишу<Enter>.

      В выделенных ячейках появится результат  умножения (Рисунок 3.6).

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6.

      3.3.2.3. Получим обратную матрицу (ХХ^Т)^-1.

      Выделим ячейки (4х4) для обратной матрицы  и ввести в них формулу массива  вычисления обратной матрицы «Мобр» (в той же категории). В диалоговом окне ввести адреса исходной обращаемой матрицы и аналогично получить значения ее элементов (Рисунок 3.7)

Рисунок 3.7

      3.3.2.4. Получим произведение матриц  (ХХ^Т)^-1Х^Т.

      Произведение  матрицы (ХХ^Т)^-1Х^Т размерностью (4х4) на матрицу размерностью (4х20) будет матрица размерностью (4х20).

      Следовательно, для ввода формулы массива  необходимо выделить ячейки для матрицы размером (4х20). После чего аналогично получить результат умножения (Рисунок 3.8 – приведены первые столбцы результата умножения).

Рисунок 3.8

      3.3.2.5. Получим произведение матриц  (ХХ^Т)^-1Х^ТY, т.е. вектор коэффициентов В.

      Произведение  матрицы (ХХ^Т)^-1Х^ТY размерностью (4х20) вектор Y размерностью (20х1) будет вектор размерностью (4х1).

      Следовательно, необходимо выделить 4 ячейки на поле и  ввести в них аналогично формулу  умножения матриц.

      Озаглавим слева данные ячейки (a, b₁, b₂, b₃) (Рисунок 3.9)

      Значения  в этих ячейках должны совпадать  с заданными значениями a, b₁, b₂, b₃

Рисунок 3.9

      3.4. Идентификация  с помощью «Пакета анализа  - Регрессия» ППП Excel

      Идентификация с помощью «Пакета анализа - Регрессия» ППП Excel аналогична процедуре идентификации линейной парной регерессии. Отличие заключается в задании входного интервала Х. Для идентификации множественной регрессии необходимо задавать адреса ячеек не одного столбца, а нескольких столбцов (для нашего примера 3), в которых размещены значения независимых переменных x₁, x₂, x₃ (Рисунок 3.10).

Рисунок 3.10

Рисунок 3.11

Рисунок 3.12

      Уравнение регрессии имеет вид: y=17-2x₁-7x₂

      Значимость  критерия F показывает, что полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается значимость всего уравнения и показателя тесноты связи (индекса множественной детерминации) R-квадрат оценивает долю вариаций результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. 100% указывает на полную связь между результативными и факторными признаками. Стандартная ошибка определяет тесноту связи с учетом степени свободы общей и остаточной дисперсии. Она дает тесноту связи, которая не зависит от числа факторов.

      3.5. Пример анализа экономических показателей на предприятии.

      Исследуем зависимость денежной выручки за несколько месяцев (y) от поступления денежных средств за пребывание льготных категорий граждан (x₁) и среднего возраста льготных категорий.

      Дана  таблица наблюдений.

      Анализ зависимости выручки (y тыс.руб.) санатория "Огонёк" от средней суммы поступлений денежных средств от льготных путевок (x₁ тыс. руб.) и среднего возраста льготной категории (x₂ лет).

Рисунок 3.13 

      Проведем  анализ с помощью «Пакета анализа - Регрессия» ППП Excel.

Рисунок 3.14

Рисунок 3.15

Рисунок 3.16

      Уравнение регрессии имеет вид y=1,883+0.9626x₁+0.0748x₂

      По  множественному R= 0,9699 видим, что связь коэффициентов регрессии тесная. Критерий F_частн х₂ = 2 показывает статическую зависимость включения второго фактора после первого. Прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака х₂ незначительный. Вероятность х₂ случайного формирования много ниже уровня значимости. Прирост факторной дисперсии за счет признак х₁ существенный. Поэтому фактор х₂ можно исключить из рассмотрения и ограничиться парной регрессией y=1,883+0,9626х₁. Уравнение более простое для анализа и прогноза.

 

       4. Моделирование  и идентификация  временных рядов

      4.1. План работы

      В процессе выполнения данной работы необходимо:

      -синтезировать модель Монте-Карло временного ряда (прямая задача).

      -вычислить  параметры временного ряда (обратная  задача идентификации) на основе  метода наименьших квадратов  и получить уравнение прогноза.

      -вычислить  параметры временного ряда (обратная  задача идентификации) на основе процедуры Юла-Уокера и получить уравнение прогноза.

      -составить  отчет по работе.

      4.2. Модель Монте-Карло  временного ряда.

      В общем виде модель авторегрессии-скользящего  среднего АРСС(p,q) имеет вид:

, где (4.1)

      f_t –значение временного ряда в момент времени t,

      f _t – значение временного ряда в момент времени t-1, t-2,…,t-k,