Методика формирования у учащихся средних классов представлений о математическом моделировании

     Элективные курсы играют значительную роль в совершенствовании школьного образования. В частности, организация элективных курсов позволяет заниматься поиском нового содержания и новых методов обучения, проводить экспериментальную проверку и впоследствии варьировать объём и сложность изучаемого материла. [30]

Элективные курсы направлены:

1)  на формирование умений и способов деятельности, связанных с решением практических задач по математике;

2)  получение дополнительных знаний по математике, интегрирующих полученные знания в единую научную картину мира;

3)  приобретение образовательных результатов, востребованных на рынке труда;

4)  подготовку выпускников к принятию решения о профессиональной подготовке, а также к итоговой аттестации в форме ЕГЭ, к конкурсным экзаменам в вузы.

    Целесообразно на профильном уровне ознакомить учащихся с применением метода математического моделирования для решения задач связанных  с применением линейного программирования, метода наименьших квадратов  теорию которых ученики незнакомы. Для того,  чтобы  решать такие задачи  целесообразно  организовать элективный  курс на  2 часа в неделю. Таким образом, можно рассмотреть вопросы, углубляющие знания по тем разделам, которые предусмотрены программой   средней школой.

 

  Пример 5. Найдите, при каких размерах консервной банки цилиндрической формы заданной емкости расход жести на ее изготовление будет наименьшим.

Решение. Этап I. Составление математической модели облегчается тем, что в условии задачи указаны форма банки и оговорена ее емкость. Существенным является требование, что расход жести на изготовление банки должен быть наименьшим. Это требование означает, что площадь полной поверхности банки должна быть наименьшей. Существенными являются и размеры банки, от которых зависит ее объем. Несущественными для составления математической модели являются конкретное значение емкости банки  вид консервов (мясных, рыбных, овощных, фруктовых), для которых банка предназначена.

Это позволяет нам, обозначив емкость банки через V см , сформулировать математическую задачу в виде: Определите размеры цилиндра с объемом V см так, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей.

Для конкретизации поставленной задачи обозначим через х см диаметр основания цилиндра, а через h см его высоту. Тогда полная поверхность цилиндра примет вид: (1).

Это позволяет нам конкретизировать поставленную задачу: «Найдите, при каких значениях переменных х и h, функция , выраженная формулой (1) принимает наименьшее значение». Но исследовать функцию от двух переменных учащиеся не умеют. Для снятия этого затруднения воспользуемся заданным в условии задачи значением объема цилиндра V. Как известно, (2).

Выразив из формулы (2) значение переменной и подставив его в формулу (1) получим (3).

Окончательно математическую задачу можно сформулировать так: «Найдите, при каких значениях переменной х функция , выраженная формулой (3), принимает наименьшее значение».

Этап 2. Решение задачи целесообразно осуществить по известной ученикам схеме исследования функции на оптимальность.

По смыслу задачи переменная х может принимать только положительные значения. В этой связи решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения функции на множестве положительных чисел. Найдем производную функции : . Для нахождения критических точек решим уравнение , т.е. уравнение . Так как х>0, , откуда .  Точка разбивает область определения функции на два промежутка и .  На первом из этих промежутков , а, следовательно, функция только убывает, на втором и, значит, функция только возрастает. Значит, в точке функция имеет минимум. Функция в области своего определения не имеет других критических точек, кроме найденной. Воспользуемся теоремой о том, что если функция в области своего определения непрерывна, принимает только положительные значения и имеет единственный максимум (минимум), то наибольшее (наименьшее) значения функции в этой области совпадает с ее максимумом (минимумом) на ней. В этой связи мы можем сделать вывод, что функция принимает наименьшее значение при . Учитывая, что , найдем  .

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V, будет наименьшим при , т.е. когда цилиндр равносторонний.

Этап 3. Полученное решение позволяет сформулировать ответ: наименьший расход жести на изготовление консервной банки цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии равенства между собой высоты и диаметра основания банки.

Пример 6. Из круглого бревна следует вырезать балку прямоугольного сечения. При каких значениях измерений сечения прочность балки будет наибольшей?

Примечание. Эта задача предложена в учебнике Н.Я. Виленкина «Алгебра и начала анализа», 10-11 кл. в облегченном виде. Мы ее предлагаем в формулировке, в какой она реально ставится.

Этап 1. Первоначально выясним, какие существенные факторы оказывают влияние на прочность балки. Такими факторами являются толщина бревна, размеры сечения, материал, из которого балка вырезана.

(Толщина круглого бревна  определяется как диаметр его  более тонкого конца).

Пусть диметр бревна , а измерения его прямоугольного сечения и . Из справочной литературы по сопротивлению материалов выясним, что прочность балки прямо пропорциональна . Тогда . Коэффициент пропорциональности зависит от материала, из которого балка изготовлена. Например, для лиственницы или дуба « » существенно больше, чем для сосны. Тогда математическая задача может быть сформулирована в виде: «При каких значениях переменных и функция , выраженная формулой , принимает наибольшее значение?».

Из рисунка 3 имеем .

Тогда .

Математическая задача может быть окончательно сформулирована в виде: «При каких значениях переменой функция , выраженная формулой , принимает наибольшее значение?»

Этап 2. Нетрудно заметить, что функция, выраженная формулой , определена на множестве значений , удовлетворяющих условию .

Производная функции   . Для нахождения критических точек решим уравнение . , если , откуда или . Учитывая, что по смыслу задачи , значение не принадлежит области определения функции. Точка разбивает область определения функции на два промежутка: и . На первом из них , следовательно, функция возрастает, на втором , значит, функция убывает. Таким образом, в точке функция имеет максимум, совпадающий в данном случае с ее наибольшим значением. (Обоснование этого утверждения дано в примере 5).

Из равенства имеем или . Таким образом, функция принимает наибольшее значение при и .

Этап 3. Полученное математическое решение переводим на язык исходной задачи: прочность балки будет наибольшей при и .

Полезно провести небольшое исследование полученного решения. При оптимальных значениях и . Будем варьировать значения переменных a и b.

а) при , . Прочность балки . Она уменьшится по сравнению с наибольшей прочностью на или приблизительно на 1 %.

б) при , . Прочность балки и будет меньше наибольшей прочности на или приблизительно на 9 %.

в) При ,   . Такая прочность меньше наибольшей на 15 %.

Учащимся следует пояснить, что уменьшение прочности балки при размерах прямоугольного сечения, отличных от и означает, что балка либо не выдержит нагрузки, либо уменьшится срок ее службы, это экономически невыгодно.

       Считаем  целесообразным предложить старшеклассникам  задания для самостоятельной  работы. Приведем небольшой перечень  традиционных щкольных задач, при  решении которых может быть  использован метод математического  моделирования.

1) Число 24 разбейте на  два таких слагаемых, чтобы сумма  их квадратов была наименьшей  (отв. 12;12).

2) Найдите число, которое  превышало бы свой квадрат  на наибольшее значение (отв.1/2).

3) Разность двух чисел  равна 8. Каковы должны быть эти  числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

4) Из прямоугольного куска  жести размерами 45х24 (см ) нужно изготовить открытую коробку, вырезав предварительно квадраты по углам. Какова должна быть сторона х этих квадратов, чтобы объем коробки оказался наибольшим?

          5) Квадрат ABCD вращается вокруг оси, лежащей в его плоскости и проходящей только через вершину А. Каким должен быть угол между стороной AB и осью вращения, чтобы объем полученного тела вращения был наибольшим? [26]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Цели, задачи, содержание  и результат опытной работы

 

Опытную работу я проводила во время педагогической практики в 9 классе МБОУ СОШ  с. Свердловское

Цель работы: выяснить, на сколько использование  описанной нами методик способствовало формированию у девятиклассников представлений о математическом моделировании для решения прикладных задач и повышению качества их знаний к предмету.

Для этого с учениками  этого класса провела  2 предварительных занятия  и привела образцы решения таких задач. У класса, никаких первоначальных  сведений о математическом моделировании не было. Поэтому трудности вызвал первый этап. Из 13 учеников на первой проверочной работе  не было одного ученика, два человека получили- 4, 6 человек получили 3, у 4 учеников оценка не удовлетворительна.

     Это объясняется  тем, что выполнение второго этапа  отрабатывается и вне связи  с текстовыми задачами: решаются  уравнения и неравенства, системы  уравнений. Выполнение третьего  этапа не вызвало  у учащихся затруднения, хотя и здесь могут появляться ошибки из-за невнимательности: полученное значение  сразу наносится в ответ, хотя вопрос задачи касается другой величины.

  Поэтому я предварительно  познакомила учащихся с тем, что  такое модель, математическое моделирование и как пользоваться методом математического моделирования для решения задач. После этого мы  рассмотрели применение этого метода  для решения традиционных задач на составление квадратных уравнений, где требуется применение межпредметных знаний особенно по математике и физике.

На примерах следующих задач были разобраны некоторые правила, позволяющие построить наиболее простую математическую модель решаемой задачи. Причем это делалось на основе рассмотрения различных способов введения переменной и выбора из них лучшего.

Задача 1: За рыбок и аквариум заплатили 25300р. Сколько стоит аквариум и сколько рыбки, если известно, что рыбки дешевле аквариума в 10 раз.  [29]

 

Рассмотрим возможные способы введения переменных:

	Цена рыбок (руб.)	Цена аквариума (руб.)	Общая стоимость (руб.)	Уравнение
1 способ	х	10х	х+10х	х+10х=25300
2 способ		Y		25300

 

Из таблицы наглядно видно, что при первом способе уравнение получается проще.

Задача 2: В двух магазинах было 1860 кг  яблок. Затем в первом магазине запас яблок удвоился, а во втором привезли ещё 140 кг, и тогда во втором магазине стало 1780 кг меньше, чем в первом. Сколько стало яблок в каждом магазине? [29]

Рассмотрим возможные способы введения переменных:

 

	1 магазин	2 магазин	В двух магазинах
Было	y/2	1860-y/2	1860
Стало	y	1860- y/2+140	1860-y/2+140+y

 

	1 магазин	2 магазин	В двух магазинах
Было	1860* (2-140)	2-140	1860
Стало	(1860-(2-140))-2	2	(1860-(2-140))*2+2

 

	1 магазин	2 магазин	В двух магазинах
Было	1860-а	А	1860
Стало	(1860-а)*2	а+140	(1860-а)*2+а+140

 

Если буквой обозначить искомое количество яблок в первом магазине, то дальше при решении уравнения придется иметь дело с дробями. Но совсем не обязательно в качестве неизвестного выбирать то, что требуется найти в задаче. Поэтому обозначить через х можно либо конечное количество яблок во втором магазине, либо количество яблок в одном из магазинов до привоза.

При  обучении математическому моделированию  в процессе решения текстовых задач нами были выделены несколько уровней обучения в порядке нарастающей сложности:

1. Обучение «языку» на котором будет вестись моделирование (изучение теории и решение системы уравнений, направленных на её закрепление).
2. Обучение «переводу» реальной ситуации на  математический язык.
3. Обучение выбору  вещественных переменных и построению схемы их взаимосвязи.
4. Обучение составлению математических выражений, реально существенных отношений и связей ( составление уравнений по условию задачи).
5. Обучение решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа.
6. Обучение исследованию полученного решения (в частности простейшим навыкам самоконтроля).