Методика формирования у учащихся средних классов представлений о математическом моделировании

 

          Одной из основных целей математического образования является обогащение школьников представлениями о математике как форме описания и методе познания действительности. Достижение такой цели неразрывно связано с усилением прикладной направленности школьного курса математики, которая должна быть отражена в его содержании, методике обучения и организации деятельности учащихся по овладению знаниями и умениями. Одним из действенных средств, способных обеспечить прикладную направленность обучения, служит ознакомление учащихся на доступном им уровне с методом математического моделирования, раскрывающим сущность математизации науки и производства, особенности применения математики для решения многочисленных задач, возникающих вне её.

 

           Использование метода математического моделирования для решения разнообразных задач осуществляется по известной трёхэтажной схеме, сущность которой состоит в следующем.

  

           На первом этапе – этапе формализации- осуществляется переход от решаемой задачи к построению её математической модели; на втором этапе решается математическая задача, сформулированная на первом этапе; на третьем этапе - этапе интерпретации - полученное решение математической задачи переводится на язык исходной задачи.

             Подготовку учащихся к математическому моделированию  прикладных задач следует вести длительно, широко используя для этого возможности уроков и внеклассной работы по математике.

            В классах старшей школы, в которых математика изучается на профильном уровне, существенно рассматривать прикладные задачи, решаемые методом математического моделирования. При этом нередко возникает необходимость знакомить учащихся с теоретическими сведениями, изучение которых не предусмотрено школьной программой по математике.

            Весьма распространенным методом, широко используемым в нематематической области, особенно в экономике, является метод линейного программирования. Суть его заключается в нахождении экстремальных значений некоторой функции, называемой обычно целевой, при соблюдении ряда условий, представляющих собой систему линейных уравнений и неравенств, число которых превосходит число переменных. Решать задачи с применением этого метода можно как аналитически, так и графически.

Задача 1. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (См. № 313, [3]).

Решение. Пусть одна из сторон образовавшегося прямоугольника равна х см, то другая - (24 - х) см. Площадь прямоугольника вычисляются по формуле  S=a · b, то S=x · (24-x)

Зададим функцию S(x)=x· (24 - x), исследуем ее и найдем при каком значении х она принимает наибольшее значение. S(x)=x · (24 - x)=24 x - x^2

D(S)=(0; 24)

S'(x)=24 - 2x

S'(x)=0,  24 - 2x=0 

             -2x=-24 

                 x=12

Найдем значение производной данной функции слева S'(11)=2>0 и справа S'(13)=-2<0 от значения х=12. Значение производной меняется с + на -, значит функция в точке х=12 достигает своего максимума. Площадь прямоугольника будет наибольшей, если стороны его 12см и 12 см, т.е. – квадрат.

Отметим, что в общем случае процесс моделирования состоит из следующих этапов:

 1 этап. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию.

2 этап. Констатация затруднения или невозможности исследования оригинала.

3 этап. Выбор модели, достаточно  хорошо фиксирующей существенные  свойства оригинала и легко поддающейся исследованию.

4 этап. Исследование модели  в соответствии с поставленной  задачей.

5 этап. Перенос результатов  исследования модели на оригинал.

6 этап. Проверка этих результатов.

Наиболее ответственным и сложным является первый этап – само построение математической модели. Оно осуществляется логическим путем на основе глубокого анализа изучаемого явления (процесса) и требует умения  описать явление (процесс) на языке математики.

В свою очередь, в процессе построения модели можно выделить несколько шагов.

Первый шаг – индуктивный: это отбор наблюдений, относящихся к тому процессу, который предстоит моделировать. Этот этап состоит в формулировке проблемы, то есть в принятии решения относительно того, что следует принимать во внимание, а чем можно пренебречь.

Второй шаг заключается в переходе от определения проблемы к собственно построению неформальной модели. Неформальная модель – это такое описание процесса, которое способно объяснить отобранные нами наблюдения, но при этом определено недостаточно строго, и нельзя с точностью проверить степень логической взаимосвязанности в нем свойств. На этой стадии рассматривается целый ряд наборов неформальных допущений, способных объяснить одни и те же данные; тем самым рассматриваются несколько потенциальных моделей и решается, какая из этих моделей лучше всего отображает изучаемый процесс. Иначе говоря, ищутся различные способы установления логического соответствия между моделью и реальным миром.

Третий шаг – это перевод неформальной модели в математическую модель. Такой перевод включает в себя рассмотрение словесного описания неформальной модели и поиск подходящей математической структуры, способной отобразить изучаемые процессы. Это самый сложный этап во всем процессе моделирования. Стадия перевода может таить в себе две опасности. Во-первых, неформальные модели имеют тенденцию быть неоднозначными, и обычно существует несколько способов перевода неформальной модели в математическую (при этом альтернативные математические модели могут иметь совершенно различный смысл). На самом деле это одна из главных причин, изначально толкающих к применению математических моделей: язык математики лишен двусмысленностей и более точен, чем естественный язык, он позволяет исследовать скрытый смысл тончайших различий в формулировках, который плохо доступен исследованию посредством естественного языка.

Следующий этап – этап решения задачи в рамках математической теории – можно еще назвать этапом математической обработки формальной модели. Он является решающим в математическом моделировании. Именно здесь применяется весь арсенал математических методов – логических, алгебраических, геометрических и т. д. – для формального вывода нетривиальных следствий из исходных допущений модели. На стадии математической обработки обычно – вне зависимости от сути задачи – имеют дело с чистыми абстракциями и используют одинаковые математические средства. Этот этап представляет собой дедуктивное ядро моделирования.

На последнем этапе моделирования полученные выводы проходят через еще один процесс перевода – на сей раз с языка математики обратно на естественный язык.

Терешин Н. А. [23] выделяет следующие дидактические функции математического моделирования:

1. Познавательная функция.

Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.

Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысления изучаемого материала.

 

2. Функция управления деятельностью учащихся.

Математическое моделирование предметно и потому облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при тех или иных преобразованиях.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

3. Интерпретационная функция.

Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью пары объектов (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, а также с помощью рисунка или чертежа. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других – геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

Можно также говорить об эстетических функциях моделирования, а также о таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала и т. д.

Кроме этих функций можно выделить еще одну – не менее важную – эвристическую. Математическая модель, выступая как выражение количеством качества объекта, позволяет экспериментировать с его количественной стороной, дает возможность определить границы устойчивости, нормальный и оптимальный режимы функционирования, еще глубже проникнуть в качественный аспект объекта — показать его внутренние закономерности. В этом и раскрывается эвристическая функция математического моделирования и его возможности для решения проблем разных наук: биологии, химии, физики, медицины и других [26].

Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности.

Необходимость овладения математическим моделированием как особым действием диктуется психолого-педагогическими соображениями. Когда ученика знакомят с каким-либо действием, которым ему нужно овладеть, то согласно данной теории знакомство надо начинать с выполнения этого действия соответствующими материальными предметами. Для того чтобы лучше увидеть общие черты усваиваемого действия, надо отвлечься от ненужных в данном случае свойств предметов. Это значит, что нужно перейти от действия с материальными предметами к действию с их заместителями — моделями, свободными от всех других свойств, кроме нужных в данном случае, то есть перейти на этап материализованного действия. Это может быть какая-то графическая схема, образная или знаковая модель, на которой или с помощью которой ученик выполняет усваиваемое действие [31].

Согласно теории поэтапного формирования умственных действий построение и работа с моделями составляют обязательный и очень важный этап овладения умственными действиями [27].

Развитие у учащихся правильных представлений о характере отражения математикой явлений и процессов реального мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике имеет большое значение для формирования научного мировоззрения учащихся, их математического, психологического и общего развития.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод по первой главе:

В ходе изучения методической литературы были рассмотрены различные определения понятия «модель» и «моделирование» и их классификация. Из всех определений этих понятий можно выделить основные черты моделей:

- модель замещает объект - оригинал;

-сохраняет некоторые важные свойства объекта-оригинала.

1. В  свою очередь под моделированием понимается построение, изучение и применение моделей.

2. Математическое моделирование, как частный случай моделирования, предполагает   использование в качестве средства исследования оригинала его математическую модель, с помощью которой появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом.

3.Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, теми методами познания, которыми они должны овладеть. Во–вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение

 

 

 

 

 

Глава 2: Методика формирование у школьников представлений о математическом  моделировании.

 

2.1. Создание первоначальных  представлений о математическом  моделировании

 

Математическое моделирование является одним из основных современных методов исследования. Вообще под моделированием понимается процесс исследования реальной системы, включающий построение модели, ее исследования и переноса полученных результатов на исследуемую систему. Модель можно определить, как объект, который в некоторых отношениях совпадает с прототипом и служит средством описания, объяснения и / или прогнозирования его поведения. Под математической моделью реальной системы (процесса) понимается совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.д.), которые определяют характеристики состояний системы в зависимости от ее параметров, внешних условий (входных сигналов, воздействий), начальных условий и времени. В общем, по определению Глушкова, математическая модель — это множество символических математических объектов и отношений между ними. По Н.М. Амосову, математическая модель - это система, отражающая другую систему.

Пожалуй, нет сегодня такой области знаний, где бы не применялись достижения математики. Действительно, формулировки задач из разных областей знаний содержат нематематические понятия. Если математик участвует в решении такой задачи, то он прежде всего стремится переложить ее математическим языком. Результат такого перевода называют математической моделью.

Модель - это некоторый материал или описательно представленный объект или явление, который является упрощенной версией моделируемого объекта или явления (прототипа) и в достаточной мере повторяет свойства, существенные для целей конкретного моделирования (опуская несущественные свойства, в которых он может отличаться от прототипа). Различают натурные, физические, теоретические, математические и др. модели.