Методика формирования у учащихся средних классов представлений о математическом моделировании

Моделирование - это метод исследования явлений и процессов, основанный на замене конкретного объекта исследований (оригинала) другим, подобным ему (моделью).

Математическое моделирование - метод исследования процессов или явлений путем создания их математических моделей и исследования этих моделей. Суть его заключается в том, что взаимосвязь исследуемых явлений и факторов передается в форме конкретных математических символов, уравнений.

Математическое моделирование позволяет заменить реальный объект его моделью и затем изучать последнюю. Как и в случае каких - либо моделирований, математическая модель не описывает явление абсолютно адекватно, что оставляет актуальным вопрос о применении полученных таким путем данных.

Математическое моделирование в той или иной степени применяют все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат для получения упрощенного описания реальности с помощью математических понятий.

Математические модели исследуются, как правило, посредством аналоговых вычислительных машин, цифровых вычислительных машин, компьютеров. В начале шестидесятых годов был разработан один из методов математического моделирования - квазианалогового моделирования. Этот метод заключается в исследовании явления или процесса другой физической природы, который описывается соотношениями, эквивалентными результатов относительно того процесса, который изучается.

Типичными задачами моделирования могут быть поиск оптимальных или приближенных к оптимальным решениям; определение свойств системы; установление взаимосвязей между ее элементами или характеристиками, а также между характеристиками системы и внешней среды и тому подобное.

Сложные системы можно охарактеризовать функциями, которые они выполняют (процессами, которые происходят в них), структурой, а также поведением во времени. Соответственно различают функциональные, структурные, информационные и поведенческие (событийные) модели систем.

Функциональная модель системы описывает совокупность функций, которые выполняет система (совокупность процессов, которые происходят в ней), характеризует состав и взаимосвязи ее функциональных подсистем.

Структурная модель отражает построение системы; информационная-отношения между элементами системы, а также между системой и внешней средой. Последняя строится в виде структур данных, характеризующих элементы системы, окружающую среду и взаимосвязи между ними.

Информационная модель также может иметь вид уравнений регрессии или корреляционных уравнений, отражающих связь между рядами данных, статистического описания совокупности данных, сравнительных статистических характеристик наборов данных и тому подобное. Поведенческая модель отражает динамику функционирования системы, изменения ее состояний, происходящих в ней, и тому подобное.

Понятие математического моделирования трактуется разными авторами по-своему. Мы будем его связывать с нашей специализацией. Под математическим моделированием мы будем понимать метод исследования процессов или явлений путем построения их математических моделей и исследования этих процессов. В основу метода положим адекватность между переменными составленного уравнения и изучаемого процесса. Понятно, что на практике эти процессы не будут абсолютно идентичны. Но можно совершенствовать математическую модель, которая более точно будет описывать этот процесс. Надо помнить, что в последнем случае, как правило, математические уравнения усложняются. А это значит, что их моделирования требует больше времени.

Схема таких исследований начинается с постановки задачи и заканчивается проведением эффективного вычислительного эксперимента. Ее условия можно записать в такой форме:

а) постановка задачи;

б) построение математической модели;

в) проверка ее адекватности;

г) обобщение и теоретическое исследование данного класса задач;

д) создание программного обеспечения;

е) проведение вычислительного эксперимента;

ж) внедрение этих результатов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Пропедевтика математического моделирования в 7-9 классах

    Широкие возможности для пропедевтики математического моделирования представляются в 7-9 классах. На данном этапе не ставится категорическое требование ознакомить школьников с трёхэтапной схемой (ссылка на то место в работе, где эта схема описана). Однако использовать её либо нет -  дело учителя. Решение вопроса им зависит от того, на сколько учащиеся знакомы с решением задач с практическим содержанием, следуя этой схеме.

   В этой связи естественно предлагать школьникам задачи с недостающими и избыточными данными, решение которых, во-первых, активизирует мыслительную деятельность учеников, учит выяснять, какие данные нужны для решения задачи, во-вторых, требует выяснения значений недостающих данных с помощью чаще всего таблиц, широко используемых на практике, в-третьих, учитывая, что найденные таким образом значения величин приближенные числа, учит учащихся оперировать такими числами и обратить их внимание на один из источников погрешностей, неизменно появляющихся при составлении математической модели.

Пример 2. Турист проехал 2200 (км), причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на каждом виде транспорта?

Решение: Примем расстояние, которое проехал турист на автомобиле за x (км). Известно, что на теплоходе он проехал вдвое больше, чем на автомобиле, то есть 2x (км). На поезде проехал в 4 раза больше, чем на теплоходе, то есть 8х (км).

Весь путь – это сумма расстояний, которые проехал турист на каждом из видов транспорта и он равен 2200 (км). Получим следующее уравнение:

х + 2х + 8х = 2200 - это и есть математическая модель данной задачи.

 

 

Пример 3. Тело брошено вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Через какое время тело достигнет заданной высоты? (Сопротивлением воздуха пренебречь).

Обозначим через м/с начальную скорость бросания, а м – высоту, которую тело должно достичь. Учитывая, что движение тела является замедленным, то искомую высоту можно найти по формуле (**), (по смыслу ), где и h – заданные параметры, g – ускорение свободного падения, а t (сек) – искомое время.

Таким образом, уравнение (**) представляет собой математическую модель сформулированной задачи, и нам предстоит выяснить через какой промежуток времени тело достигнет высоты h. Составленное уравнение можно записать в виде (***), представляющее собой квадратное уравнение с параметрами, которое следует решить.

Следующий шаг – решение задачи, выяснение того, при каких значениях параметров и h или соотношения между ними тело достигнет указанной высоты.

Для решения уравнения составим его дискриминант: .

Здесь могут оказаться три случая:

а) D<0; это будет иметь место, если , т.е. ; уравнение не будет иметь действительных решений;

б) D=0, отсюда , уравнение имеет единственное решение ;

в) D>0, , уравнение будет иметь два различных решения: или  .

Математическая задача решена. Перейдем к третьему шагу – переводу полученного решения на язык исходной задачи.

Рассмотрим три случая.

а) Если уравнение не имеет решений. Это значит, что при такой начальной скорости бросания тело высоты h не достигнет;

б) Если уравнение имеет единственное решение . Это значит, что при такой начальной скорости бросания тело окажется на высоте h  через секунд.

в) Если уравнение имеет два различных решения. Это значит, что тело, движущееся по параболе, окажется на высоте h дважды: через с (поднимаясь) и с (опускаясь).

   Существенно заметить, что озвучивание этапов решения задачи методом математического моделирования не является обязательным. Решение об этом в каждом конкретном случае принимает учитель.

Пример 4. Требуется проложить водопровод длиной 191 м. Для этой цели имеются трубы одинакового диаметра длиной 5 м и 7м. Сколько труб той или другой длины понадобится для прокладки водопровода? (Трубы резать нельзя)

Эту проблему целесообразно поставить перед учащимися в связи с введением понятия линейного уравнения с двумя переменными.

Следует сообщить школьникам, что подобная практическая ситуация складывается часто в связи с потребностью прокладки водопровода к производственным объектам и объектам социально-бытового назначения.

Составление математической модели трудности у учеников не вызовет. Обозначив через х число труб длиной 5 м, а через у число труб длиной 7 м, придем к уравнению 5х+7у=191 (4), представляющему математическую модель данной практической задачи  [29].

Несколько сложнее дело обстоит с решением задачи. Используя имеющиеся у них знания, школьники могут заметить, что  (4) представляет собой линейную функцию и координаты каждой точки прямой (графика функции) составляют решение данного уравнения. В результате данное уравнение умеет бесконечное множество решений (но не любая пара чисел является решением уравнения!), что на практике совершенно неприемлемо. Более внимательный взгляд на уравнение (4) позволяет на одном из последующих уроков либо внеклассном занятии провести следующие рассуждения. Т.к. 191 не кратно ни 7, ни 5, то ограничиться трубами только одного размера нельзя. Из уравнения (4) следует, что 5х=191-7у. По смыслу задачи x>0, y>0. Следовательно, 191-7у>0, или . Учитывая, что х и у – натуральные числа, .Вместе с тем, нам нужно найти такие натуральные значения , при которых значение выражения 191-7у кратно 5. Таковы значения переменной у равные 3, 8, 13, 18, 23. Таким образом, уравнению (4) удовлетворяют пары чисел (34; 3), (27; 8), (20; 13), (13; 18), (6; 23), т.е. оно имеет 5 различных решений. Разумеется, такое число решений потребности практики не удовлетворяет. Поэтому естественно поставить вопрос о том, какой из пяти найденных вариантов является более экономичным. Более экономичным является тот из них, при котором потребуется сделать наименьшее число соединений.

Проведем следующий анализ.

При х=34 и у=3 потребуется сварить 36 соединений;

при х=27 и у=8     – 34 соединения;

при х=20 и у=13   – 32 соединения,

при х=13 и у=18   – 30 соединений;

при х=6 и у=23    – 28 соединений.

Таким образом, наименьшее число соединений нам придется сварить при х=6 и у=23. Этот анализ позволяет нам дать однозначный ответ на вопрос задачи: для прокладки водопровода нужно использовать 23 семиметровых трубы и 6 пятиметровых труб.

Хорошие возможности для развития представлений о математическом моделировании представляются в связи с изучением в курсе геометрии элементов векторной алгебры.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Развитие представлений о математическом моделировании

в старшей школе

В старшей школе при решении прикладных задач методом математического моделирования, следует применять трёхэтапную схему.                 Работу здесь целесообразно распределить на два уровня (базовый и профильный). Формирование подобных представлений в классах общеобразовательного направления целесообразно осуществить преимущественно через решение задач межпредметного характера при изучении элементов дифференциального и интегрального исчислений, объемов и площадей поверхностей пространственных фигур и их комбинаций, уравнений, неравенств и их систем, перефразируя в отдельных случаях условия задач, приведенных в школьных учебниках.  [29]

В самом деле, одной из главных проблем современной педагогики является такая реорганизация школы, которая обеспечила бы оптимальное развитие индивидуальных способностей детей и осознанный выбор ими дальнейшего жизненного пути. Для этого необходима организация системы профильного уровня, которая заключается в следующем: на старшей ступени обучения организуется несколько крупных направлений, отличающихся набором учебных предметов и содержанием учебных программ, ориентирующих учащихся на более глубокое знакомство с выбранной областью деятельности. С другой стороны, изменения, происходящие в России (вхождение в рыночную экономику, появление новых форм собственности, развитие предпринимательства), определили новый социальный заказ образовательным учреждениям со стороны общества: необходимо подготовить выпускника школы с принципиально новым уровнем экономического мышления. [29]

    Данный уровень относится к обучению математике в классах естественнонаучного и особенно математического направлений профильной школы, где заметно расширяется теоретическая база обучения, представляется возможным ознакомить учащихся в теории и на практике с некоторыми методами математики, широко используемыми для решения практических задач, уделяется серьезное внимание реализации внутрипредметных и межпредметных связей. Особое внимание школьников важно обратить на необходимость при составлении математической модели выделить существенные факторы, влияющие на исследуемое явление (процесс). Рассмотрим, как можно реализовать эти математические соображения на примере решения ряда задач. Например, одной из форм реализации профильного обучения в современной школе является организация и проведение элективных курсов. [29]

    Элективные курсы - это курсы по выбору, обязательные для посещения старшеклассниками. К приоритетным целям элективных курсов относят развитие, дополнение и углубление содержания базового и профильного курсов; удовлетворение познавательных интересов учащихся; развитие мышления, а также воспитание мировоззрения и личностных качеств средствами углублённого изучения предмета.