Методика формирования у учащихся средних классов представлений о математическом моделировании

Введение……………………………………………………………………………..3

Глава 1: Теоретические основы формирования представлений у учащихся старшей школы о математическом моделировании……………………………….5

1. Понятие модели. Моделирование. Классификация моделей и виды моделирования………………………………………………………5
2. Математическая модель. Математическое моделирование……….16
3. Ознакомление учащихся с сущностью , целями и функциями  математического моделирования на разных этапах обучения математике в общеобразовательной школе………………….........20

Выводы по первой главе…………………………………………….29

Глава 2: Методика формирование у школьников представлений о математическом  моделировании…………………………………………………30

2.1  Создание первоначальных представлений о математическом           моделировании………………………………………………………31

2.2. Пропедевтика  математического моделирования в 7-9 классах………………………………………………………………..34

2.3.  Развитие представлений о математическом моделировании в старшей школе………………………………………………….........40

2.4.    Цели, задачи, содержание  и результаты опытной работы………..50

          Выводы по второй главе…………………………………………….57

Заключение……………………………………………………………........58

Библиографический список……………………………………………….60

 

Введение:

     Проблема модернизации образования в настоящее время широко обсуждается, особенно с позиции активизации творческой познавательной деятельности учащихся. Активизация познавательной деятельности учащихся – один из дидактических принципов, роль которого существенно возросла в условиях развивающего обучения. Проблема активизации включает в себя средства для осуществления такой деятельности.  Однако в учебниках и в методической литературе этому уделяется совершенно недостаточно внимания. Одним из средств активизации использование в обучение математике является метод математического моделирования.

   С методом математического моделирования  следует знакомить учащихся в школе для  раскрытия перед ними возможности математики для повышения уровня производительных сил общества. Однако, до сих пор ни учебные пособия, ни существующая методическая литература по математике не уделяют серьёзного внимания формированию у школьников представления о математическом моделировании.

Проблема: потребность в методике,  применение которой позволила бы  ознакомить учащихся с сущностью метода математического моделирования и выработать у них умение применять полученные знания на практике.

Цель работы: разработать методику формирования у учащихся представлений о математическом моделировании на разных этапах обучения предмету.

Объект исследования: процесс обучения математике.

Предмет исследования: методика формирования у учащихся представлений о математическом моделировании.

Задачи исследования:

а) раскрыть сущность математической модели;

б) выделить этапы формирования у учащихся представлений о математическом моделировании;

в) сформулировать цели и функции формирования представлений о математическом моделировании на разных этапах обучения математике в общеобразовательной школе;

г) подобрать задачи, с помощью которых возможно иллюстрировать методику работы на каждом этапе;

Гипотеза: использование в процессе обучения математике разработанных методических рекомендаций по формированию у учащихся представлений о математическом моделировании способствует усилению прикладной направленности обучения математике и повышению уровня знаний школьников по предмету.

Методы исследования:

- изучение математическую, педагогическую литературу о математическом моделировании;

- ознакомление с опытом работы учителей по формированию у учащихся представлений о математическом моделировании;

- опытная работу в школе.

 

 

Глава 1. Теоретические основы формирование у учащихся старшей школы представлений о  математическом моделировании  

 

1.1. Понятие модели. Моделирование. Классификация моделей и видов моделирования

   Моделирование в настоящее время получило необычайно широкое применение во многих областях знаний: от философских и других гуманитарных разделов знаний до ядерной физики и разделов физики, от  проблем радиотехники и электротехники до проблем механики и гидромеханики,  физиологии и биологии, моделирование – мощный способ познания окружающего мира.

    Вопросы моделирования рассматривались в работах философов (В. А. Штоффа, И. Б. Новикова, Н. А. Уемова), специалистов по педагогике и психологии  (Л. М. Фридмана, В. В. Давыдова, Б. А. Глинского, С. И. Архангельского и других).

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Это понятие возникло в процессе опытного изучения мира, а само слово «модель» произошло от латинских слов «modus», «modulus», означающих меру, образ, способ. Почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью [28] .

Существуют различные точки зрения на определение понятия «модель».

Так, например, В. А. Штофф под моделью понимает такую мысленно представляемую или материально реализованную систему,  которая отображает и воспроизводит объект так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте [15].           

 А. И. Уемов определяет модель как систему, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе [24].

Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: «Модель – это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет» [21].

В. А. Поляков считает, что «модель – это идеальное формализованное представление системы и динамики ее поэтапного формирования. Модель должна интегрировано имитировать реальные задачи и ситуации, быть компактной, адекватно передавать смены состояний и должна совпадать с рассматриваемой задачей или ситуацией».

Большинство психологов под «моделью» понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую некоторые существенные свойства системы-оригинала. Наличие отношения частичного подобия («гомоморфизм») позволяет использовать модель в качестве заместителя или представителя изучаемой системы.

Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного  исследования типичные черты. [16]

 

 

     Рассмотрим некоторые примеры моделей:

1) Архитектор готовится  построить здание невиданного  доселе типа. Но прежде чем  воздвигнуть его, он сооружает  это здание из кубиков на  столе, чтобы посмотреть, как оно  будет выглядеть. Это модель.

2) На стене висит картина, изображающая бушующее море. Это модель [10].   

«Моделирование – это есть процесс использования оригинала для изучения тех или иных свойств (преобразований) или замещения моделями в процессе какой-либо деятельности» (например, для преобразования арифметического выражения можно его компоненты временно обозначить буквами) [28].

«Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система:

1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2) способная замещать его в определенных отношениях;

3) дающая при ее исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте»

(три перечисленных признака по сути являются определяющими признаками модели) [26].

На основании перечисленного можем выделить следующие цели моделирования [6]:

1) понимание устройства конкретной системы, ее структуры, свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром;

2) управление системой, определение наилучших способов управления при заданных целях и критериях;

3) прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на систему.

Все три цели подразумевают в той или иной степени наличие механизма обратной связи, то есть необходима возможность не только переноса элементов, свойств и отношений моделируемой системы на моделирующую, но и наоборот.

Моделирование тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.    

Научной  основой  моделирования служит теория аналогии, в которой основным понятием является - сходство объектов по их качественным и количественным признакам. Все эти виды объединяются понятием обобщенной аналогии - абстракцией. Аналогия выражает особого рода соответствие между сопоставляемыми объектами, между моделью и оригиналом [7].

Вообще, аналогия - это среднее, опосредующее звено между моделью и объектом. Функция такого звена заключается:

а) в сопоставлении различных объектов, обнаружении и анализе объективного сходства определенных свойств, отношений, присущих этим объектам;

б) в операциях рассуждения и выводах по аналогии, то есть  в умозаключениях по аналогии.

Хотя в литературе отмечается неразрывная связь модели с аналогией, но «аналогия не есть модель». Неопределенности порождаются нечетким различием:     

1) аналогии как понятия выражающего фактическое отношение сходства между разными вещами, процессами, ситуациями, проблемами;

2) аналогии как особой логики умозаключения;

3) аналогии как эвристического метода познания;

4) аналогии как способа восприятия и осмысления информации;

5) аналогии как средства переноса  апробированных методов и идей из одной отрасли знания в другую, как средства построения и развития научной теории.

Вывод по аналогии включает интерпретацию информации, полученной исследованием модели. Особенность способа получения выводов по аналогии в логической литературе получила название традукция - перенос отношений (свойств, функций и т. д.) от одних предметов на другие. Традуктивный способ рассуждений используется при сопоставлении различных предметов по количеству, качеству, пространственному положению, временной характеристике, поведению, функциональным параметрам структуры и т. д. [19].

Моделирование является многофункциональным, то есть оно используется самым всевозможным  образом для различных целей на  уровнях (этапах)  исследования или преобразования.  В связи с этим  многовековая практика использования моделей породила обилие форм и типов моделей.

Модели классифицируют исходя из наиболее существенных признаков объектов. В литературе, посвященной философским аспектам моделирования, представлены различные классификационные признаки, по которым выделены различные типы моделей. Рассмотрим некоторые из них.

В. А. Штофф предлагает следующую классификацию моделей [28]:

1) по способу их построения (форма модели);

2) по качественной специфике (содержание модели).

По способу построения различают материальные и идеальные модели. Материальные модели, несмотря на то, что эти модели созданы человеком, существуют объективно. Их назначение специфическое – воспроизведение структуры, характера протекания, сущности изучаемого процесса – отразить пространственные свойства –  динамику изучаемых процессов, зависимости и связи. 

Материальные модели неразрывно связаны с воображаемыми (прежде чем что-либо построить, необходимо иметь теоретическое представление, обоснование). Эти модели остаются мысленными даже в том случае, если они воплощены в какой-либо материальной форме. Большинство этих моделей не претендует на материальное воплощение.

В свою очередь материальные модели по форме делятся на:

·   образные (построенные из чувственно наглядных элементов);

·   знаковые (в этих моделях элементы отношения и свойства моделируемых явлений выражены при помощи определенных знаков);

·   смешанные (сочетающие свойства и образных, и знаковых моделей).

Достоинства данной классификации в том, что она дает хорошую основу для анализа двух основных функций модели:

- практической (в качестве  орудия и средства научного  эксперимента);

- теоретической (в качестве  специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, общего и единичного).

Другая классификация есть у Б. А. Глинского в его книге «Моделирование как метод научного исследования». Наряду с обычным делением моделей по способу их реализации, он разделяет модели и по характеру воспроизведения сторон оригинала на:

·   субстанциональные;

·   структурные;

·   функциональные;

·   смешанные.