Контрольная работа по "Высшей математике"

 

Алгебра логики (булева алгебра) – это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля. Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает  методы установления истинности или  ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Во-вторых, булева алгебра делает это  таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой  может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут  иметь только два значения: 0, либо 1. Что такое простое логическое высказывание? Это фразы типа «два больше одного», «5.8 является целым числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором ложь. Алгебра логики не касается сути этих высказываний. Если кто-то решит, что высказывание «Земля квадратная» истинно, то алгебра логики это примет как факт. Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений про Логические операции. Дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

Так как же связываются  между собой простые логические высказывания, образуя сложные? В  естественном языке мы используем различные  союзы и другие части речи. Например, «и», «или», «либо», «не», «если», «то», «тогда». Пример сложных высказываний: «у него есть знания и навыки», «она приедет во вторник, либо в среду», «я буду играть тогда, когда сделаю уроки», «5 не равно 6». Как мы решаем, что нам сказали правду или нет? Как-то логически, даже где-то неосознанно, исходя из предыдущего жизненного опыта, мы понимает, что правда при союзе «и» наступает в случае правдивости обоих простых высказываний. Стоит одному стать ложью и все сложное высказывание будет лживо. А вот, при связке «либо» должно быть правдой только одно простое высказывание, и тогда все выражение станет истинным.

Булева алгебра  переложила этот жизненный опыт на аппарат математики, формализовала  его, ввела жесткие правила получения  однозначного результата. Союзы стали  называться здесь логическими операторами.

Алгебра логики предусматривает  множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого  внимания, т.к. с их помощью можно  описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных  устройств при конструировании  схем. Такими операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию - ||, а отрицание - чертой над переменной, обозначающей высказывание.

При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых  выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное  выражение будет ложно.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при  истинности хотя бы одного входящего  в него простого выражения или  двух сразу. Бывает, что сложное выражение  состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание – это  унарная операция, т.к выполняется  по отношению к одному простому выражению  или по отношению к результату сложного. В результате отрицания  получается новое высказывание, противоположное  исходному.стых высказываний.

Таблицы истинности

Логические операции удобно описывать так называемыми  таблицами истинности, в которых  отражают результаты вычислений сложных  высказываний при различных значениях  исходных простых высказываний. Простые  высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

Логические  основы компьютера

В ЭВМ используются различные устройства, работу которых  прекрасно описывает алгебра  логики. К таким устройствам относятся  группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь  между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в используемой в ЭВМ  системе счисления. Как известно она двоичная. Поэтому в устройствах  компьютера можно хранить и преобразовывать  как числа, так и значения логических переменных.

Переключательные  схемы

В ЭВМ применяются  электрические схемы, состоящие  из множества переключателей. Переключатель  может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае – ток проходит, во втором – нет. Описывать работу таких  схем очень удобно с помощью алгебры  логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

Вентили, триггеры и сумматоры

Вентиль представляет собой логический элемент, который  принимает одни двоичные значения и  выдает другие в зависимости от своей  реализации. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и  отрицание.

Триггеры и сумматоры  – это относительно сложные устройства, состоящие из более простых элементов  – вентилей.

Триггер способен хранить один двоичный разряд, за счет того, что может находиться в двух устойчивых состояниях. В основном триггеры используется в регистрах  процессора.

Сумматоры широко используются в арифметико-логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют  суммирование двоичных разрядов.

В основе построения компьютеров, а точнее аппаратного  обеспечения, лежат так называемые вентили. Они представляют собой  достаточно простые элементы, которые  можно комбинировать между собой, создавая тем самым различные  схемы. Одни схемы подходят для осуществления  арифметических операций, а на основе других строят различную память ЭВМ.

Простейший вентиль  представляет собой транзисторный  инвертор, который преобразует низкое напряжение в высокое или наоборот (высокое в низкое). Это можно  представить как преобразование логического нуля в логическую единицу  или наоборот. Т.е. получаем вентиль  НЕ.

Соединив пару транзисторов различным способом, получают вентили ИЛИ-НЕ и И-НЕ. Эти вентили  принимают уже не один, а два и более входных сигнала. Выходной сигнал всегда один и зависит (выдает высокое или низкое напряжение) от входных сигналов. В случае вентиля ИЛИ-НЕ получить высокое напряжение (логическую единицу) можно только при условии низкого напряжении на всех входах. В случае вентиля И-НЕ все наоборот: логическая единица получается, если все входные сигналы будут нулевыми. Как видно, это обратно таким привычным логическим операциям как И и ИЛИ. Однако обычно используются вентили И-НЕ и ИЛИ-НЕ, т.к. их реализация проще: И-НЕ и ИЛИ-НЕ реализуются двумя транзисторами, тогда как логические И и ИЛИ тремя.

Выходной сигнал вентиля можно выражать как функцию  от входных.

Транзистору требуется  очень мало времени для переключения из одного состояния в другое (время  переключения оценивается в наносекундах). И в этом одно из существенных преимуществ  схем, построенных на их основе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы и ссылок

1. www.inf1.info/ventil.
2. vssit.ucoz.ru/index/0-30.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание

1. Перевести число из p-ичной системы счисления в десятичную ..1 стр.
2. Перевести число из десятичной системы счисления в р-ичную…1-3 стр.
3. По упрощенным правилам перевести число из двоичной системы счисления……………………………………………………………………………………..4 стр.
4. Получить код числа………………………………………………………………………4-5 стр.
5. Составить таблицу истинности для выражения…………………………..5 стр.
6. Микропрограммный автомат с жесткой логикой. Структурная схема……………………………………………………………………………………………..5-7 стр.
7. Вентили и булева алгебра……………………………………………………………7-12 стр.
8. Список литературы и ссылок……………………………………………………….13 стр.