Контрольная работа по "Высшей математике"

Задача 1

 Даны вершины А1(2,-1,8), А2(3,4,4), А3(2,-1,2), А4(6,1,6), пирамиды. Найти:

1. длину ребра А₁А₂;
2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;
3. уравнение грани А₁А₂А₃ и ее площадь;
4. объем пирамиды.

Решение:

1) Длину ребра найдем, как расстояние между двумя  точками

 

Тогда длина ребра А₁А₂ равна:

 

2) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как косинус угла между двумя прямыми

 

Найдем направляющие векторы  прямых А₁А₂ и А₁А₄

 

 

 

 

3) уравнение грани А₁А₂А₃ найдем, как уравнение плоскости проходящей через три точки:

 

 

 

 

Площадь грани А₁А₂А₃

Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна

 

Координаты векторов :

 

 

 

4) Объем пирамиды построенной  на векторах  одной шестой смешанного произведения этих векторов. Координаты векторов :

 

Тогда

 

Задача 3

Даны векторы (2,0,3), (-9,2,10), (-4,2,10), (-1,-2,-10) в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Решение:

Для того, чтобы векторы  образовывали базис, необходимо, чтобы они были линейно независимы, т.е. определитель, составленный из координат этих векторов был отличен от нуля.

 

т.е. векторы  образуют базис.

Найдем координаты вектора в базисе _.

Вектор  линейно выражается через вектора базиса

 

или

 

Решим систему уравнений  методом Крамера

Найдем определители

 

 

 

x, y, z равны:

 

 

 

Координаты вектора  в базисе .

Задача 4

Применяя метод Гаусса исключения неизвестных, решить систему  линейных уравнений. Сделать проверку найденного решения.

Решение:

Запишем систему уравнений  в форме расширенной матрицы

 

Приведем матрицу к  треугольному виду.

1) Поменяем местами первую  и третью строку

 

2) Умножим первую строку  на -4 и сложим ее со второй, первую строку умножим на -3 и  сложим с третьей.

 

3) Поменяем местами вторую  и четвертую строку, затем последовательно умножим ее 9 и 19 и и третью на 2 и сложим со второй

 

4) Третью строку умножим  на -98 и сложим с 4 строкой умноженной на 43

 

Из системы уравнений, имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

система уравнений имеет  единственное решение: .

 

проверка:

 

Задача 5.

Найти пределы функции:

а)  б)  в)

a)

 

разделим  числитель и знаменатель на x²

 

б)

 

Разложим на множители  числитель и знаменатель дроби

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

в)

 

Умножим числитель и знаменатель  дроби на

Тогда

 

 

Задача  7

 Найти производные  следующих функций:

 

 

Решение:

а)

 

б)

 

в)

 

 

 

Задача 8.

Найти интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

 

Решение:

а)

б)

в) Вычислим данный интеграл с помощью формулы интегрирования по частям:

 

 

 

 

г)