Контрольная работа по "Высшей математике"

Задача 1. Вычислите нижние и верхние цены и найдите седловые точки (если они есть) для игр со следующими матрицами:

Матрица 1

	В1	В2	В3	В4
А1	12+t	20+v	15+u	12+t
А2	12+t	15+u	7+v	3+u
А3	3+u	3+u	12+t	15+u
А4	s	20+v	7+v	7+v

 

Матрица 2

	В1	В2	В3	В4
А1	4+v	8+t	s	11+u
А2	s	4+v	16+v	11+u
А3	4+v	8+t	11+u	s
А4	11+u	4+v	4+v	4+v

 

Матрица 3

 

 

	В1	В2	В3	В4	B5
А1	u+2	v+6	u+2	t+10	v+17
А2	t-2	v+17	t-2	u+14	v+6
А3	s-6	v+6	t-2	u+2	v+6
А4	u+2	v+6	u+2	t+10	t+10

                             

Значения параметров, входящих в матрицу

           s = 3        t =2       u =3      v =2

Задача 2. Найдите оптимальные  смешанные стратегии игры (2 × 2):

	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Элементы матрицы заданы в таблице.

a11	a12	a21	a22
6	4	3	5

 

Задача 3. Найти решения матричных игр графоаналитическим методом:

а) игра (2 × 5):

Стратегия	B1	B2	B3	B4	B5
A1	4	5	6	3	1
A2	0	2	3	5	6

б) игра (4 × 2):

Стратегия	В1	В2
А1	0	2
А2	3	6
А3	4	1
А4	5	2

 

Задача №1

Матрица 1

1. Зададим значение матрицы для определенных значений.

	В1	В2	В3	В4
А1	12+t	20+v	15+u	12+t
А2	12+t	15+u	7+v	3+u	при	s	t	u	v
А3	3+u	3+u	12+t	15+u		3	2	3	2
А4	s	20+v	7+v	7+v
	В1	В2	В3	В4
А1	14	22	18	14
А2	14	18	9	6
А3	6	6	14	18
А4	3	22	9	9

2. С помощью мастера функций введем :

      а)  минимум  по строкам(рис. 1),

 

       (рис.1)

        б)  из полученного столбца  минимумов найти максимум (рис. 2),

(рис.2)

         в)   максимум по столбцам,

         г)    из полученной строки  максимумов найти минимум.

         д)   седловая точка это пересечение  нижней и верхней цены игры (рис. 3)

(рис.3)

Ответ: При минимальных  затратах А = 14 игрока и максимальных затратах В = 14 игрока оптимальным единственным решением удовлетворяющее потребности игроков это  пересечение А1 и В1 =14.

         

Матрица 2

1) Зададим значение  матрицы для определенных значений

	В1	В2	В3	В4
А1	4+v	8+t	s	11+u
А2	s	4+v	16+v	11+u	при	s	t	u	v
А3	4+v	8+t	11+u	s		3	2	3	2
А4	11+u	4+v	4+v	4+v
	В1	В2	В3	В4
А1	6	10	3	14
А2	3	6	18	14
А3	6	10	14	3
А4	14	6	6	6

2) С помощью мастера  функций введем :

      а)  минимум  по строкам(рис. 4),

      б)  из  полученного столбца минимумов  найти максимум,

      в)   максимум по столбцам,

      г)    из полученной строки  максимумов  найти минимум.

      д)   седловая точка это пересечение  нижней и верхней цены игры (рис. 4)

 

      

(рис. 4)

 

Ответ: При минимальных затратах А = 10 игрока и максимальных затратах В = 6 игрока оптимального  решения удовлетворяющего потребности игроков неопределенно, так как А=10>B=6  следовательно игра не имеет седловой точки.

Матрица 3

1) Зададим значение матрицы для  определенных значений

	В1	В2	В3	В4	B5
А1	u+2	v+6	u+2	t+10	v+17
А2	t-2	v+17	t-2	u+14	v+6		s	t	u	v
А3	s-6	v+6	t-2	u+2	v+6		3	2	3	2
А4	u+2	v+6	u+2	t+10	t+10
	В1	В2	В3	В4	B5
А1	5	8	5	12	19
А2	0	19	0	17	8
А3	-3	8	0	5	8
А4	5	8	5	12	12

2) С помощью мастера  функций введем :

      а)  минимум  по строкам(рис. 5),

      б)  из  полученного столбца минимумов  найти максимум,

      в)   максимум по столбцам,

      г)    из полученной строки  максимумов найти минимум.

      д)   седловая точка это пересечение  нижней и верхней цены игры (рис. 5)

 

( рис.5) седловая точка

Ответ: При минимальных  затратах А = 5 игрока и максимальных затратах В = 5 игрока оптимальным решением удовлетворяющее потребности игроков получены 4 седловые точки это  пересечение А4 и В1 =5; А4 и В3 = 5; А1 и В1 = 5; А1 и В3 =5.

Задача №2

 Зададим значение  матрицы для определенных значений

 

 

	B1	B2
A1	a11	a12		a11	a12	a21	a22
A2	a21	a22		6	4	3	5
	B1	B2
A1	6	4
A2	3	5

Нижняя цена игры = 5 , а  верхняя цена игры = 4; игра не имеет  седловой точки.

Находим решение игры в смешанных стратегиях. Вычисляем

(q11 + q22) – (q12 + q21) = (6+5)-(3+4)=4

Находим цену игры в смешанных  стратегиях:

q = (q11q22 — q12q21) / 4 = (6*5-4*3)/4 =(30-12)/4 = 18/4  = 4,5

 

Определяем оптимальные  смешанные стратегии игроков  А и В:

x1*= (q22 — q21) / 4 = (5-3) / 4 = 0,5,

x2*= (q11 — q12) / 4 = (6-4) / 4 = 0,5,

y1*= (q22 — q12) / 4 = (5-4) / 4 = 0,25,

y2*= (q11 — q21) / 4 = (6-3) / 4 = 0,75.

В ы в о д.  Игрок Х должны случайно (независимо друг от друга)

выбирать обе стратегии  с одинаковой вероятностью 0,5.  При игре игрока У1 вероятность выигрыша = ,025, вероятность проигрыша =0,75 , при этом цена игры 4,5

Задача №3

Игра а)

1)вводим формулу для целевой ячейки.

 

Рис.6 целевая ячейка

2)находим значение  целевой функции для этого