Исследование функций и построение графиков с применением математических пакетов

   7. Выпуклость и точки  перегиба функции.

   Выпуклость функции.

   Пусть функция f(x) задана на множестве D и дифференцируема на (a,b). Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x, f(x)), xÎ(a,b), причем эти касательные не параллельны оси Оу.

   Определение. Графиком функции f называется множество точек координатной плоскости {M(x,y): y=f(x), xÎD}.

    Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на (a,b), если график функции в пределах (a,b) лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

   Теорема 7.1. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на (a,b). Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a,b), то функция выпукла вниз (вверх) на (a,b).

   Доказательство.

     Пусть f ²(x)³0 "хÎ(a,b). Зафиксируем произвольное х₀Î(a,b). Докажем, что график функции в пределах (a,b) лежит не ниже касательной в точке М₀(x₀,f(x₀)). Уравнение касательной:

   y_кас.- f(x₀)=f ¢(x₀)(x-x₀). (1)

   Разлагая  f(x) по формуле Тейлора для n=1 "хÎ(a,b), получим

    , х¹х₀, х₀<c<x (x<c<х₀) (2)

   Вычтем (1) из (2):

    , сÎ(х₀,х) (сÎ(х,х₀)). (3)

   "хÎ(a,b) f ²(x)³0, сÎ(х₀,х)Ì(a,b). Следовательно, f ²(с)³0.

   Тогда из (3) следует y-y_кас.³0 "хÎ(a,b), т. е. y³y_кас. "хÎ(a,b). Следовательно, график функции в пределах (a,b) лежит не ниже касательной. Т. к. х₀ - произвольная точка из интервала (a,b), то f(x) выпукла вниз на (a,b).

   Пример.

   D y=f(x)=x³,

      f ¢(x)=3x², f ²(x)=6x

      f ²(x)³0 при x³0 Þ на [0,+¥) функция выпукла вниз,

      f ²(x)£0 при x£0 Þ на (-¥,0] функция выпукла вверх. D 

   Точки перегиба.

         Пусть f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀,обозначим эту окрестность V(x₀).

   Определение. Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

   Теорема 7.2. (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀ функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

   Доказательство.

     Пусть в точке перегиба  x₀ существует непрерывная f ²(x₀). В условиях теоремы для f ²(x₀) возможны 3 случая.

   1) f ²(x₀)>0. Следовательно, т. к. f ²(x₀) непрерывна, $V(x₀), в которой f ²(x)>0, т. е. в точке x₀ функция не меняет направления выпуклости. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

   2) f ²(x₀)<0. Следовательно, $V(x₀), в которой f ²(x)<0. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

   3) f ²(x₀)=0.

   В точке перегиба вторая производная  может не существовать.

   Пример.

   D , .

       , .

       Следовательно, в точке х₀=0 f ² не существует.

       При x>0 f ²(x)>0 Þ на (0,+¥) функция выпукла вниз,

       При x<0 f ²(x)<0 Þ на (-¥,0) функция выпукла вверх.

       Значит, х₀=0 - точка перегиба. D

   Т. о., точками возможного перегиба являются те точки, в которых вторая производная  равна нулю или не существует. Но не каждая такая точка является точкой перегиба.

   Пример.

   D y=f(x)=x⁴

      f ¢(x)=4x³, f ²(x)=12x².

      f ²(x)=0 Û х=0. Но "х: f ²(x)³0, следовательно, функция выпукла вниз на . Значит, х₀=0 не является точкой перегиба, хотя f ²(x₀)=0. D

   Т. о., точки возможного перегиба требуют  дальнейшего исследования.

   Теорема 7.3. (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в где x₀ – точка возможного перегиба. Если:

   1) f ²(x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀ - точка перегиба функции f(x);

   2) f ²(x) не меняет знака при переходе через x₀, то x₀ не является точкой перегиба функции f(x).

   Доказательство.

    1) Слева и справа от x₀ функция по теореме 7 имеет разное направление выпуклости, следовательно, x₀ - точка перегиба функции f(x).

        2) В точке x₀ функция не меняет направления выпуклости, следовательно, x₀ не является точкой перегиба.

   Теорема 7.4. (второе достаточное условие перегиба). Если f ²(x₀)=0, а , то x₀ - точка перегиба функции f(x).

   Доказательство.

     По условию  .

   Если  , то f ²(x) возрастает в точке x₀. Т. к. f ²(x₀)=0, то справа и слева от x₀ имеет разные знаки. Тогда по теореме 9 x₀ - точка перегиба.

   Если  , то f ²(x) убывает в точке x₀. Т. к. f ²(x₀)=0, то справа и слева от x₀ имеет разные знаки. Следовательно, x₀ - точка перегиба.  
 

   8. Точки пересечения  графика функции  с осями координат.

   Для более точного и наглядного построения графика полезно найти его  точки пересечения с осями  координат.

   1. Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью y, необходимо вычислить значение функции при х=0, т.е. найти f(0).

   2. При пересечении оси абсцисс (оси Х) значение функции равно 0, т.е. y=f(x)=0. Для вычисления х необходимо решить уравнение f(x)=0.  
Для проверки правильности нахождения координат точек пересечения графика функции с осью Х, необходимо подставить найденные значения х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

   Определение.  Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е.   или  . 
 

   

9. График  функции.

   График функции y=f(х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y=f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика обычно выбирается несколько значений аргумента х и для них вычисляются соответствующие значения функции y=f(x). 

Примеры полного исследования функции и построения графика. 

         1.

                              2. Не периодическая, область определения  симметрическое множество на является четной.

                              3. Функция непрерывна на  , то есть на точек разрыва нет вертикальных асимптот нет.

                              4.     

                            0                     

                             5.       горизонтальных и наклонных асимптот нет.

                            6. - точка строгого максимума,

                           7.  

                                                 

                             

                             8.      

                             9.             y

                                                16 
 
 

                                                                          x

                                                   
 
 
 
 
 
 

          1.

                              2. Не периодическая, не является ни четной, ни нечетной.

                              3. Функция непрерывна на  , то есть на точек разрыва нет вертикальных асимптот нет.

                             4.