Исследование функций и построение графиков с применением математических пакетов

   Российская  Федерация

   Федеральное агентство по образованию

   Государственное образовательное учреждение

   Высшего профессионального образования

   Брянский  Государственный Университет

   Имени академика И.Г.Петровского 
 
 
 

   Кафедра математического анализа 

   Курсовая  работа на тему

   «Исследование функций и построение графиков с применением математических пакетов» 
 

   Выполнила:

   Студентка ФМФ

   3 курса 1 группы

   Новикова  Ю.В. 
 

     Научный руководитель:

   Кандидат  физико-

   математических наук,  доцент

   Злобина С.В. 
 

Брянск 2011

   Введение2

I. Схема полного исследования функции 3

    1. Область определения 3

    2. Четность, нечетность и периодичность функции 3-4

3. Непрерывность,  точки разрыва и вертикальные асимптоты функции4-7

    4. Исследование функций с помощью производной 7-9

    5. Наклонные асимптоты графика функции9-10

    6. Монотонность и экстремум функции10-13

    7. Выпуклость и точки перегиба функции13-16

    8. Точки пересечения графика функции с осями координат16

     9.  График функции16

     Примеры полного исследования функций17-18

II. Математические пакеты19

1. Язык MATHEMATICA19-21
2. Язык MATCAD21-27

    3. MICROSOFT EXCEL27-28

   Заключение29

   Список  используемой литературы30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Введение.

   Математические пакеты - это программы (пакеты программ), обладающие средствами выполнения различных численных и аналитических (символьных) математических расчетов, от простых арифметических вычислений, до решения уравнений с частными производными, решения задач оптимизации, проверки статистических гипотез, средствами конструирования математических моделей и другими инструментами, необходимыми для проведения разнообразных технических расчетов.

   Математическими пакетами называются системы, среды, языки типа Mathematica, Maple V, MatLAB, Derive, Mathcad, а также семейство систем статистического анализа данных - таких как SPSS, Statistica, Statgraphics, Stadia и др.

   Цель моей курсовой – показать, что есть математические пакеты, которые помогают студенту ВУЗа легко, быстро, а самое главное точно исследовать функции и строить графики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

1. Схема полного исследования функции.

1. Найти область определения.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и вертикальные асимптоты (если есть).
4. Исследовать поведение функции в окрестности граничных точек области определения и при х®±¥.
5. Найти (если есть) наклонные асимптоты графика функции.
6. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.
7. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.
8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства.
9. Построить график.

 
 
   

1. Область определения.

   Определение. Действительной функцией действительного переменного называется функция f:X , где X . Элемент x называется аргументом функции f (или независимой переменной), элемент y=f(x)Î - зависимой переменной.

   Определение. Множество, на котором определена функция, называется областью определения и обозначается D(f). Множество ее значений обозначается Е(f).

   Пример. y=f(x)= .

   Найти D(f)

    D(f): Û Û

   Значит, D(f)=(-∞;-3] [3;4).  
 

   2. Четность, нечетность и периодичность функции.

   Четные  и нечетные функции.

   Определение. Множество D называют симметричным относительно числа 0, если xÎD Þ -xÎD.

    Определение. Функция f, заданная на множестве D называется четной на этом множестве, если

   1)D симметрично относительно числа 0;

   2) xÎD выполняет равенство f(-x)=f(x).

   График  четной функции симметричен относительно OY.

   Определение. Функция f, заданная на множестве D, называется нечетной на этом множестве, если:

   1)D симметрично относительно числа 0;

   2) xÎD выполняется равенство f(-x)=-f(x).

   График  нечетной функции симметричен относительно начала координат.  

   Периодические функции.

   Определение. Функция f называется периодической с периодом T 0 на множестве D, если

   1) xÎD x TÎD (Т - периодическое множество).

   2) xÎD f(x+T)=f(x).

   Пусть f-периодическая функция с периодом Т. Следовательно, число -Т тоже является периодом, т.к. f(x-Т)=f((x-T)+T)=f(x), т.е. f(x-T)=f(x).

    xÎD f(x+T)=f(x),

               f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x),

               f(x+nT)=f(x) nÎ ,   Þ xÎD f(x+kT)=f(x)

               f(x-T)=f(x),

               f(x-2T)=f((x-T)-T)=f(x-T)=f(x),

               f(x-nT)=f(x) nÎ .

   Т.к. xÎD x+kTÎD, то D-неограниченное множество.

   Наименьший  положительный период функции  f называют ее основным периодом .

   Например, y=sin x, y=cos x, =2 ;

               y=tg x, y=ctg x, = .   

   Не  всякая периодическая функция имеет  основной период. Например, функция  Дирихле. Она является периодической, ее период - любое рациональное число. Но основного периода нет, т.к. не существует наименьшего положительного рационального числа.  
 

   3. Непрерывность, точки разрыва и вертикальные асимптоты функции.

   Непрерывность.

   Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x₀ - V(x₀), x₀Î .

   Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она в этой точке имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. если

    .  (1)

   Определение. (по Гейне) Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если , выполнено .

   Определение. (по Коши) f(x) называется непрерывной в точке х₀, если  выполнено .

   Определение. (в терминах окрестностей) Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если выполнено .

   Равенство (1) Û .  (2).

   Обозначим - приращение аргумента в точке х₀, - соответствующее приращение функции в точке х₀. Если , то . Значит, (2) Û .

   Следовательно, получим эквивалентное определение.

   Определение. Функция f(x) непрерывна в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

   Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке x₀, (т.е. если не выполняется условие (1)), то она называется разрывной в точке x₀, а точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x).

   Точку x₀, в которой функция не определена, но определена в , также будем называть точкой разрыва, хотя в ней равенство (1) вообще не определено (нет правой части).

   Пример. непрерывна в любой точке .

   D Придадим значению аргумента x₀ приращение , получим точку . Тогда функция получит приращение

    ;

    .

   Следовательно, непрерывна в любой точке .D

   Определение. Функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке x₀, если ( ). 

   Точки разрыва.

   Определение. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы f(x₀-0), f(x₀+0).

   Величина  называется скачком функции в точке x₀.

    Пример. Исследовать на непрерывность функцию