Исследование функций и построение графиков с применением математических пакетов

    ,

    .

         2) Достаточность.

   Пусть существуют пределы (1) и (2). Из (2) следует  f(x)-kx=b+a(х), где . Следовательно, f(x)=kx+b+a(х), и, значит, прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥.

   Пример. Найти асимптоты графика функции

   Наклонные асимптоты.

   1 способ (по определению). . Т. е. f(x)=kx+b+a(х), где k=1, b=0, . Значит, прямая y=x – наклонная асимптота графика функции при х®±¥.

    2 способ (по теореме).

     Þ k=1,

    Þ b=0. Следовательно, прямая y=x – наклонная асимптота графика функции при х®±¥. D 
 

   6. Монотонность и  экстремум функции.

   Монотонность  функции.

   Определение. Монотонная функция – это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное.

   Условия монотонности функции:

   Теорема 6.1. (критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале). Пусть функция   непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке   производную f'(x). Тогда f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда  f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда 

   Теорема 6.2. (достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале). Пусть функция   непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке   производную f'(x). Тогда:

   если   то f строго возрастает на (a,b);

   если   то f строго убывает на (a,b).

   Теорема 6.3. (критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале). Пусть   и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

 
 

   Экстремум функции.

   Пусть f(x) определена в некоторой окрестности - V(x₀).

   Определение. Точка х=х₀ называется точкой максимума функции f, если существует окрестность V(x₀,d)ÌV(x₀), в пределах которой выполнено неравенство f(x)£f(x₀).

   Значение  функции в точке x₀ называется максимумом функции.

   Определение. Точка х=х₀ называется точкой минимума функции f, если существует окрестность V(x₀,d)ÌV(x₀): "xÎV(x₀,d) выполнено f(x)³ f(x₀).

   Значение  функции в точке x₀ называется минимумом функции.

   Определение. Точка х=х₀ называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции f, если существует V(x₀,d)ÌV(x₀): "xÎV(x₀,d) выполнено неравенство f(x)< f (x₀) (f(x)> f (x₀)).

   Значение  функции в точке x₀ называется строгим максимумом (строгим минимумом) функции.

         Точки максимума  и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

         Можно доказать, что  если функция непрерывна на (a,b) и имеет несколько максимумов и минимумов, то они чередуются. Понятия максимума и минимума являются локальными, т. е. понятиями, относящимися не ко всей области определения функции, а только к окрестности некоторой точки. Не следует смешивать понятия максимума и минимума с наибольшим и наименьшим значением функции на (a,b). Функция f может иметь несколько максимумов (минимумов), но они не будут наибольшими (наименьшими) значениями функции. Функция может иметь наибольшее и наименьшее значения, но они не будут ни максимумом, ни минимумом.

    Теорема 6.4. (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x₀). Если функция имеет в точке x₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

   Доказательство.

     По условию функция имеет  в точке x₀ экстремум. Следовательно, существует окрестность V(x₀,d)ÌV(x₀), в пределах которой f (x₀) является наибольшим или наименьшим значением функции f . По теореме Ферма, если существует f ¢(x₀), то f ¢(x₀)=0. Для завершения доказательства приведем пример, когда функция, не дифференцируемая в точке, имеет в этой точке экстремум.

   y=|x|, .

   х=0 – точка минимума, т. к. f(0)=0 и "х¹0 f(x)>0, но f(x) не дифференцируема в точке х=0.

   Определение. Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка x₀ называется стационарной точкой функции f, если f ¢(x₀)=0. Точка x₀ называется критической точкой функции f, если f ¢(x₀)=0 или не существует.

         Из теоремы 4 следует, что точками экстремума могут  быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

   Пример. D f(x)=x³, f ¢(x)=3x², f ¢(0)=0.Но х=0 не является точкой экстремума. Действительно, при x<0 f(x)<0, а при x>0 f(x)>0. Следовательно, х=0 не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. D

         Т. о., критические  точки являются точками возможного экстремума. Найдя критические точки, необходимо подвергнуть их дальнейшему  исследованию.

   Теорема 6.5. (первое достаточное условие экстремума). Пусть: 1) f дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, в которой она непрерывна. 2) f ¢(x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x₀.

     Если:

         1) f ¢(x)>0 при x<x₀ и f ¢(x)<0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого максимума;

         2) f ¢(x)<0 при x<x₀ и f ¢(x)>0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого минимума;

         3) f ¢(x)>0 или f ¢(x)<0 "xÎV(x₀), то x=x₀ не является точкой экстремума.

   Доказательство.

    1) Возьмем "xÎV(x₀,d). Применим теорему Лагранжа к отрезку [x₀,x] или [x,x₀]. Получим (1) f(x)-f(x₀)=f¢(c)(x-x₀), cÎ(x₀,x) (или сÎ(x,x₀)). Пусть x<x₀ Þ x-x₀<0. Т. к. с<x₀, то f ¢(c)>0. Из (1) Þ f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀). Пусть x>x₀ Þ x-x₀>0. Т. к. с>x₀, то f ¢(c)<0. Из (1) Þ f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀). Следовательно, "xÎV(x₀,d) f(x)<f(x₀). Значит, то x=x₀ - точка строгого максимума.

         2) Аналогично.

         3)  Пусть f ¢(x)>0 "xÎ .

   Если  x<x₀, т. е.  x-x₀<0, то из (1), т. к. f ¢(c)>0, следует f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀).

   Если  x>x₀, т. е.  x-x₀>0, то из (1), т. к. f ¢(c)>0, следует f(x)-f(x₀)>0, т. е. f(x)>f(x₀).

   Следовательно, f(x₀) не является ни наименьшим, ни наибольшим значением функции f(x) в . Значит, x₀ не является точкой экстремума.

   Теорема 6.6. (второе достаточное условие экстремума). Пусть для функции f в стационарной точке x₀ . Тогда функция имеет в точке x₀ максимум, если и минимум, если .

   Доказательство.

     Пусть  . Тогда по теореме 1 f ¢(x) возрастает в точке x₀. Докажем, что x₀ - точка строгого минимума. Т.к. f ¢(x₀)=0, то $V(x₀,d): f ¢(x)<0 при x<x₀ и f ¢(x)>0 при x>x₀. Тогда по теореме 5 x₀ - точка строгого минимума.

         Для случая доказательство аналогично.

   Пример.

   D

       f ¢(x)=x³-4x, f ²(x)=3x²-4

       f ¢(x)=0 при x₁=0, x₂=2, x₃=-2

       f ²(0)=-4 Þ x=0 – точка строго максимума, max f(x)=f(0)=3

       f ²(±2)=8 Þ x=±2 – точки строго минимума, min f(x)=f(±2)=-1. D