Исследование функций и построение графиков с применением математических пакетов

   D Функция непрерывна на , в том числе на . Функция непрерывна на , в том числе на . Исследуем на разрыв точку х=1.

   

   

    . Следовательно, х=1 - точка разрыва I рода.

    . D

   Определение. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой устранимого разрыва, если , т.е. (но либо , либо ).

   Если  x₀ - точка устранимого разрыва, то разрыв можно устранить, если доопределить или переопределить функцию в точке x₀, положив . Тогда непрерывна в точке x₀.

   Пример. Исследовать на непрерывность функцию

   D .

    Функция является непрерывной на D(f) (отношение двух многочленов). Исследуем точку х=-2.

   

   Значит, х=-2 - точка устранимого разрыва.

   Доопределим функцию в точке х=-2:

    .

     непрерывна в точке х=-2. D

   Определение. Точка x₀ разрыва функции f(x) называется точкой разрыва II рода, если в точке x₀ не существует или равен бесконечности хотя бы один из односторонних пределов.

   Пример. Исследовать на непрерывность

    D функция непрерывна на D(f) (композиция непрерывных функций), исследуем точку x=-1.

    , . Следовательно, x=-1 - точка разрыва второго рода ( ).D 

   Вертикальные  асимптоты графика функции.

   Определение. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а равен +¥ или -¥.

   Пример. Найти асимптоты графика функции .

   D 1) Вертикальные асимптоты.

    .

   Функция является элементарной, следовательно, непрерывна в области определения, х=0 – точка разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке:

    ,  .

   Следовательно, х=0 – точка разрыва второго рода, прямая х=0 – вертикальная асимптота графика функции. 
 

   4. Исследование функций с помощью производной.

   Условия постоянства, возрастания  и убывания функций.

   Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки , обозначим .

   Определение. Функция f называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x и x₀ из промежутка D таких, что x < x₀, выполняется неравенство f (x) < f (x₀).

   Определение. Функция f называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x и x₀ из промежутка D таких, что x < x₀, выполняется неравенство f (x) > f (x₀).

   Теорема 4.1. Если функция f дифференцируема в точке x₀ и f¢ (x₀)>0 (f¢(x₀)<0), то f возрастает (убывает) в точке x₀.

   Доказательство.

     По определению производной  .

   Пусть f¢ (x₀)>0 (случай f¢ (x₀)<0 доказывается аналогично). По определению предела функции по Коши получаем:

   "e>0 (e=f¢ (x₀)) $d>0: "x: |x-x₀|<d выполнено Û Û        (1)

   (1) выполнено  .

   Возьмем , т. е. xÎ(x₀-d, x₀) Þ x-x₀<0. Тогда из того, что Þ f(x)<f(x₀).

   Возьмем , т. е. xÎ(x₀, x₀+d) Þ x-x₀>0. Тогда из того, что Þ f(x)>f(x₀).

   На  основании определения функция f возрастает в точке x₀.

   Замечание. Условие f¢ (x₀)>0 (f¢ (x₀)<0) не является необходимым для возрастания (убывания) функции в точке x₀. Т. е. из того, что f(x) возрастает (убывает) в точке x₀ не следует, что f¢ (x₀)>0 (f¢ (x₀)<0).

    Пример. D f(x)=x³, . Рассмотрим точку x=0.

   f¢ (x)=3x², f¢ (0)=0, но в точке х=0 функция возрастает. D

   Теорема 4.2. (признак постоянства функции) Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Для того чтобы f(x) была постоянной на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы f¢(x)=0 "xÎ(a,b).

   Доказательство.

     1) Необходимость.

   Пусть f(x)=cºconst, f¢(x)=c¢=0.

         2) Достаточность. 

   f¢(x)=0 "xÎ(a,b). Выберем "x₁, x₂Î[a,b]: x₁<x₂. К [x₁,x₂] применим теорему Лагранжа: $с: f(x₂)-f(x₁)=f¢ (c)(x₂-x₁), x₁<c<x₂. По условию f¢ (c)=0, x₂-x₁>0 Þ f(x₁)=f(x₂) "x₁, x₂Î[a,b], x₁¹x₂ Þ f(x)=cºconst.

   Следствие. Пусть f(x), g(x) определены и непрерывны на [a,b] и дифференцируемы на (a,b). Если f¢ (x)=g¢ (x) "xÎ(a,b), то f(x), g(x) отличаются друг от друга на постоянную.

   Доказательство  следует из теоремы 2 (применить для  функции F(x)=f(x)-g(x)).

   Теорема 4.3. (признак монотонности функции). Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Функция не убывает (не возрастает) на [a,b] Û f¢ (x)³0 (f¢ (x)£0) на (a,b).

   Доказательство.

     1) Необходимость.

   Пусть f не убывает на (случай не возрастания доказывается аналогично).

   Тогда по определению "x, x₀Î[a,b]: x<x₀ Þ f(x)£ (x₀) Þ ,

                           "x, x₀Î[a,b]: x>x₀ Þ f(x)³ (x₀) Þ .

   Следовательно, , т. е. . Т. к. x₀Î[a,b] - произвольная точка, то необходимость доказана.

         2) Достаточность.

   Пусть f¢ (x)³0 на (a,b) (случай f¢ (x)£0 доказывается аналогично). Возьмем "x₁, x₂Î[a,b]: x₁<x₂. К [x₁,x₂] применим теорему Лагранжа: $сÎ( x₁,x₂):

   f(x₂)-f(x₁)=f¢ (c)(x₂-x₁). Т. к. f¢ (с)³0, x₂-x₁>0, то f(x₂)-f(x₁)³0. Т. е. f(x₂)³ f(x₁). По определению функция не убывает на [a,b].

   Теорема 4.4. Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Если f¢ (x)>0 (f¢(x)<0), то f возрастает (убывает) на (a,b).

         Доказывается так  же, как и п. 2) теоремы 3.

   Замечание. Условие теоремы 4 является достаточным, а не необходимым. Например, функция y=x³ возрастает на , а f¢ (0)=0. 
 

   5. Наклонные асимптоты  графика функции.

   Определение. Пусть f(x) определена "x>a (x<a), . Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥ (х®-¥), если f(x)=kx+b+a(х), где .

   При k¹0 y=kx+b – наклонная асимптота, при k=0 прямая y=b – горизонтальная асимптота.

   Теорема 5.1. Для того, чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х®+¥ (х®-¥), необходимо и достаточно, чтобы существовали 2 конечных предела:

    , (1)  . (2)

   Доказательство.

     1) Необходимость.

   Пусть прямая y=kx+b – наклонная асимптота графика функции при х®+¥. Тогда по определению f(x)=kx+b+a(х), где . Отсюда